如何基于两个几乎垂直的向量创建正交基？

Question

我正在尝试基于两个“几乎”垂直的向量创建一个正交坐标系，这些向量是从医学影像中推导出来的。例如，我有两个向量:

Z=[-1.02,1.53,-1.63];
Y=[2.39,-1.39,-2.8];

这两个向量几乎垂直，因为它们的内积等于5e-4。

然后我找到它们的叉积来创建我的第三个基向量：

X=cross(Y,Z);

即使这第三个向量与Z和Y并不完全正交，因为它们的内积大约是-15和-16，但我想那几乎为零了。为了将这组向量用作本地坐标系的正交基础，我假设它们应该几乎完全垂直。我最初认为可以通过将向量舍入到更少的小数位来实现这一点，但没有帮助。我想我需要找到一种方法稍微修改我的初始向量，使它们更加垂直，但我不知道如何做到这一点。

我会感激任何建议。

- roja zak

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可能有帮助：http://en.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidt_process。您无需进行归一化；基本上，只需从Z中减去Y在Z上的投影。请注意，您仍然可能无法得到一个_精确_的零，因为浮点数就是这样。 - Danica

Answer 1

正如上面指出的那样，Gram-Schmidt是正确的。

基本上，您想要从Y中减去在Z方向上的分量（注意：您也可以选择对Z进行操作）。

Y在Z方向上的分量为：

   dot(Y,Z)*Z/(norm(Z)^2)

(Y在Z上的投影)

请注意，如果Y与Z正交，则结果为0。

因此：

   Y = Y - dot(Y,Z)*Z/(norm(Z)^2)

而Z保持不变。

- thang

Answer 2

让 V=Y+aZ Z·V=0，因此您可以解决 a 并获得 V 现在使用 V 和 Z 作为您的基础

您可能需要规范化向量并使用双精度类型以获得所需的精度。

- Edward