在R中构造正交向量的最简单方法

Question

我如何构造一个垂直于两个已知向量v1和v2的向量？

- ivo Welch

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可能相关的链接：https://math.stackexchange.com/questions/501949/determining-a-perpendicular-vector-to-two-given-vectors 和 https://dev59.com/zJbfa4cB1Zd3GeqPsVu4#36802067 - chinsoon12

Answer 1

在基本R中，给定任意两个向量，可以通过以下方式获得垂直向量：

 a <- rbind(v1, v2)
 orth.vec <- sapply(seq(ncol(a)), function(x)(-1)^(x-1)*det(a[,-x]))

如果需要对其进行归一化，即规范正交向量：

 orth.vec/norm(orth.vec,"2")

编辑： 请注意，无论给定多少个向量，此代码都相同。即 a 必须是一个维度为 n x (n + 1) 的矩阵。

例如：比较下面两个结果：

a <- matrix(sample(90),9)
MASS::Null(t(a))
             [,1]
 [1,] -0.16836356
 [2,] -0.41335337
 [3,]  0.55917161
 [4,] -0.36823759
 [5,] -0.16845300
 [6,]  0.29331428
 [7,]  0.09284215
 [8,]  0.10840769
 [9,] -0.13890032
[10,]  0.44547280

get_orth_vec <- function(y)sapply(seq(ncol(y)), function(x)(-1)^(x-1)*det(y[,-x]))

# Unnormalized Orthogonal Vector
orth.vec <- get_orth_vec(a)
 [1]  2.418607e+15  5.937980e+15 -8.032715e+15  5.289874e+15  2.419892e+15 -4.213572e+15 -1.333713e+15
 [8] -1.557318e+15  1.995356e+15 -6.399388e+15
 # Orthonormal vector
 orth.vec/norm(orth.vec,"2")
 [1]  0.16836356  0.41335337 -0.55917161  0.36823759  0.16845300 -0.29331428 -0.09284215 -0.10840769
 [9]  0.13890032 -0.44547280

请注意，这两者之间唯一的区别是方向。如果您有更大的矩阵，请使用这些包，因为它们使用QR分解。

- onyambu

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很好的回答，自制食谱，点赞！ - ThomasIsCoding

Answer 2

最简单的方法可能是滥用旧模型：

orthogonal.vector <- resid( lm( rnorm(length(v1)) ~ v1 + v2 ) )

例子：

> v1 <- rnorm(5); v2 <- rnorm(5);
> orthogonal.vector <- resid( lm( rnorm(length(v1)) ~ v1 + v2 ) )
> orthogonal.vector %*% v1
                       [,1]
[1,] -0.0000000000000004441
> orthogonal.vector %*% v2
                     [,1]
[1,] 0.000000000000000111

- ivo Welch

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从技术上讲，这并不完全正确。c(0,0,0)是原点，而不是正交向量。 - Onyambu

请详细说明：结果并非源。 - ivo Welch

因为你是随机生成的，但残差需要为零。如果模型完全匹配，则残差为零。请再试一次。 - Onyambu

完美适配模型y是一个零概率事件，对于随机抽取的y向量而言。在这种情况下，可以使用另一个随机抽取的向量重新进行操作。 - ivo Welch

我尝试了5次，每一次都得到残差为c(0,0,0)。这不是一个正交向量。 - Onyambu

Answer 3

也许你可以尝试使用来自“pracma”包的null，例如，

vout <- pracma::null(M)

或者从 MASS 返回 Null，例如：

vout <- MASS::Null(t(M))

such that

> M%*%vout
            [,1]
v1 -2.220446e-16
v2  4.440892e-16

数据

v1 <- c(1,2,3)
v2 <- c(3,2,4)
M <- rbind(v1,v2)

- ThomasIsCoding