生成两个正交向量，它们与特定方向正交。

Question

在numpy中，生成两个正交向量a和b的最简单和最有效的方法是什么，使得这两个向量的叉积等于另一个已知的单位向量k？

我知道会有无数对满足条件axb=k和a.b=0，只要满足这些条件，对于我来说哪一对都没关系。

- Physicist

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a和b是形状为(3,)（具有3个元素的一维数组）？你如何“手动”完成这个任务？ - hpaulj

是的。a、b和k的形状都是（3，）。我知道如何手动完成它。我有5个方程式，6个未知数，这是否意味着没有简单的方法（只需几行代码）？我必须使用scipy中的数值方法来解决它吗？ - Physicist

我在考虑接受答案中的叉积和点积的代数版本。对于小数组，它们的速度同样快。 - hpaulj

Answer 1

Gram-Schmidt过程将完全做到这一点。例如：

>>> k  # an arbitrary unit vector k is not array. k is must be numpy class. np.array
np.array([ 0.59500984,  0.09655469, -0.79789754])

获取第一个：

>>> x = np.random.randn(3)  # take a random vector
>>> x -= x.dot(k) * k       # make it orthogonal to k
>>> x /= np.linalg.norm(x)  # normalize it

要获得第二个：

>>> y = np.cross(k, x)      # cross product with k

并且进行验证：

>>> np.linalg.norm(x), np.linalg.norm(y)
(1.0, 1.0)
>>> np.cross(x, y)          # same as k
array([ 0.59500984,  0.09655469, -0.79789754])
>>> np.dot(x, y)            # and they are orthogonal
-1.3877787807814457e-17
>>> np.dot(x, k)
-1.1102230246251565e-16
>>> np.dot(y, k)
0.0

- behzad.nouri

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当k是不同的向量时，这个代码不起作用。>>> k = np.array([ 0.0, 0.0215, -1.334]) >>> x = np.random.randn(3) >>> x -= x.dot(k) * k >>> x /= np.linalg.norm(x) >>> np.dot(x, k) 0.38532052441276377 - Miae Kim

非常好，加上René Wirnata下面的答案，即使第一个输入向量不是单位向量，这也可以工作。 - Charly Empereur-mot

Answer 2

很抱歉，由于声望不足，我无法将其作为评论发布。

关于@behzad.nouri的回答，请注意如果k不是单位向量，则该代码将不再给出正交向量！

正确而通用的做法是减去随机向量的纵向部分。此的通用公式在这里

因此，您只需在原始代码中替换此内容:

>>> x -= x.dot(k) * k / np.linalg.norm(k)**2

- René Wirnata

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这种方法被称为Gram-Schmidt过程。 - Miae Kim

所以这在两种情况下都有效，无论k是单位向量还是不是，对吗？ - Charly Empereur-mot

好的，是的，它确实这样。 - Charly Empereur-mot

Answer 3

假设支持正交基的向量是u。

b1 = np.cross(u, [1, 0, 0])   # [1, 0, 0] can be replaced by other vectors, just get a vector orthogonal to u
b2 = np.cross(u, b1)
b1, b2 = b1 / np.linalg.norm(b1), b2 / np.linalg.norm(b2)

如果您喜欢，这是一个更短的答案。

获取转换矩阵

B = np.array([b1, b2])
TransB = np.dot(B.T, B)
u2b = TransB.dot(u) # should be like [0, 0, 0]

- william liang