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使用新的X值进行黄土预测

rregressionsmoothingloess
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我试图理解predict.loess函数如何能够在原始数据中不存在的点x处计算新的预测值（y_hat）。例如（这是一个简单的例子，我知道loess显然不需要这样的例子，但它说明了重点）：

x <- 1:10
y <- x^2
mdl <- loess(y ~ x)
predict(mdl, 1.5)
[1] 2.25
loess回归通过在每个x上使用多项式来创建预测的y_hat，因此它会在每个y处创建一个预测值。然而，由于没有存储任何系数，因此这种情况下的“模型”只是用于预测每个y_hat的细节，例如 span 或 degree。当我执行 predict(mdl, 1.5) 时，如何使 predict 能够在这个新的x处生成一个值？它是否在两个最近的现有x值及其相关的y_hat之间进行插值？如果是这样，那么它是如何完成这个过程的细节呢？
我已经阅读了在线的cloess文档，但无法找到讨论此问题的地方。
插值、外推或两者兼备？我认为你指的是仅插值。 - smci
这里是一个链接！我希望它能有所帮助。 - Seongje Chae
4个回答
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然而，由于没有存储系数，因此在这种情况下，“模型”仅是用于预测每个y_hat的详细信息。也许您已经使用了“print（mdl）”命令或者简单地使用了“mdl”来查看模型“mdl”包含什么，但事实并非如此。该模型真的很复杂，并且存储了大量参数。为了了解其内部情况，您可以使用“unlist（mdl）”并查看其中的大量参数列表。以下是该命令的一部分手册描述其实际工作原理的内容：拟合是在本地进行的。也就是说，在点x处的拟合是使用x周围的点加权得出的（在计算距离时忽略“参数化”变量的差异）。邻域的大小由α（由span或enp.target设置）控制。对于α <1，邻域包括α比例的点，并且这些点具有三次立方加权（与（1-（dist / maxdist）^ 3）^ 3成比例）。对于α> 1，将使用所有点，并且假定“最大距离”为p解释变量的α ^（1 / p）倍的实际最大距离。对于默认family，拟合是通过（加权）最小二乘法完成的。对于family =“symmetric”，使用Tukey的双加权M估计过程的几次迭代。请注意，由于初始值是最小二乘拟合，因此这可能不是非常强健的拟合。我认为它试图在每个点的邻域内拟合多项式模型（而不仅是整个集合的单个多项式）。但是，邻域并不意味着仅指前一个点和后一个点。如果我正在实现这样的功能，我会对离点x最近的点施加很大的权重，并对远离点的点施加较低的权重，并尝试拟合适合最高总权重的多项式。然后，如果给定的x'用于预测高度，则最接近点x，我尝试使用在点x附近拟合的多项式（称为P（x）），并将其应用于x'上（称为P（x'）），这将是预测。如果您正在寻找特定内容，请告诉我。
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谢谢您的回答。然而，关于多项式回归背后的逻辑/数学是在我的问题中进行描述的。我正在尝试理解如何计算中间点。这一定是通过某种插值方法来实现的吧？ - Alex
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谢谢，是的，这正是我在问题中描述的。请注意：“在点x处的拟合是使用x附近的点进行的”。问题是：在x_1和x_2之间会发生什么...例如，在x_1 + epsilon处，数据集中不存在的情况。 - Alex
仍然添加了两段。如果有任何不清楚的部分，请不要犹豫。 - Ali
谢谢。但是，我认为我们彼此之间存在误解。假设有一个点（y_1，x_1），我们想要计算g(y)在这个点上的取值。我们使用所有在x_1和y_1范围内的点来进行OLS回归。我们对所有点（x_1..x_n）重复此过程，因此得到g(y_1)...g(y_n)。但是，如果我们查看原始数据集中没有包含的点x_1+epsilon会怎么样？我们没有g(y_1+epsilon)可以查找吗？ - Alex
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如果数据集中包含每个点（比如x_1+epsilon），那么还需要预测什么呢？另一个问题是，我们不只有一个多项式g(x)，而是n个多项式g_1(x)，g_2(x) ... g_n(x)，其中g_i(x)被创建来最好地拟合(x_i, y_i)附近的点。只需使用拟合的多项式来预测数据集中最接近的点（比如x_1）即可（因此您的答案将是g_1(x_1 + epsilon)）。 - Ali
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为了更好地理解loess拟合的过程，可以运行TeachingDemos包中的loess.demo函数。它能让您交互式地点击图表（即使是在点之间），然后显示用于预测的点集及其权重以及预测该点的线/曲线。
还要注意，默认情况下，loess会对loess拟合进行第二次平滑/插值处理，因此在拟合对象中看到的可能不是真正的loess拟合信息，而是二次平滑处理的结果。
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我在手册的第42页找到了答案：

In this algorithm a set of points typically small in number is selected for direct    
computation using the loess fitting method and a surface is evaluated using an interpolation
method that is based on blending functions. The space of the factors is divided into
rectangular cells using an algorithm based on k-d trees. The loess fit is evaluated at
the cell vertices and then blending functions do the interpolation. The output data
structure stores the k-d trees and the fits at the vertices. This information
is used by predict() to carry out the interpolation.
哪个手册？我正在尝试自己找答案，想要看看混合功能。 - Mark Miller
我认为你引用的是这篇文档：http://www.netlib.org/a/cloess.pdf，它似乎是William S. Cleveland、Eric Grosse和Ming-Jen Shyu的一篇论文或报告的附录。虽然我不确定引文是否正确，因为我只找到了附录而没有找到主要文档。 - Mark Miller
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