Haskell中的所有类型类都有范畴论类比吗？

Question

考虑一个类型类，其成员为* -> *类型。例如：Functor类型类。众所周知，在Haskell中，这个类型类及其数学（即范畴论）对应关系是一致的。推广一下：

问题1： Haskell中每个成员为* -> *类型的类型类是否都对应于某些范畴之间的函数？

现在考虑一个类型类，其成员为*类型。例如，可以想象一个与组(category of Groups)对应的类型类Group(严格来说，Group将是Hask的子范畴，其对象包含所有的Haskell类型)。推广一下：

问题2： Haskell中每个成员为*类型的类型类是否都对应于某些范畴(技术上是：Hask的某个子范畴)?

从这里，我们可以提出下一个通用问题：

问题3： 类型等于或高于* -> * -> *的类型类是否对应于某些范畴论概念？

而实际上，这整个问题可以概括如下：

通用问题：每个Haskell类型类是否都对应于某些范畴论概念？

编辑：至少可以说，由于每个类型类都包含一些Haskell类型集合作为其成员，因此可以将每个类型类视为Hask的某个子范畴(在.下封闭并使用id)。

- George

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Foldable对应于范畴论的哪个概念？ - Zeta

@DietrichEpp 这适用于 (Foldable f, Functor f) => f。但是话说回来，没有一个 Foldable 不同时也是 Functor（至少我现在想不到）。 - Zeta

我认为根据“子类别”的定义，2是正确的，但1和3对我来说似乎相当遥远。如果我编写一个愚蠢的类，其唯一成员是Proxy和Flip (Kleisli IO) Bool，那么这很可能没有太多数学意义。 - leftaroundabout

@leftaroundabout，但这样的类型类是否仍然可以作为Hask的某些（奇怪的）子范畴而轻松地发挥作用呢？ - George

@George：不是关于Hask的。而是关于退化类别（实际上是一个幺半范畴）的，它的唯一对象是*，其态射是* -> *类型构造器？是的，我想这也是显然的。但那真的不是很有趣。 - leftaroundabout

Answer 1

当足够严谨地解释时，所有这些问题的答案都是“是”，但原因毫无意义。每个范畴C都会限制到一个离散子范畴|C|，其对象与C相同，但只有恒等态射（因此没有有趣的结构）。至少，Haskell类型上的操作可以无聊地解释为对离散类别|*|上的操作。最近的“角色”故事实际上是（但并非如此）试图承认态射很重要，而不仅仅是对象。类型的“命名”角色相当于在|*|中工作，而不是*。

（注意，我不喜欢将“Hask”用作“Haskell类型和函数的范畴”的名称：我担心将一个范畴标记为Haskell范畴会导致我们无法看到Haskell编程中其他丰富的范畴结构。这是个陷阱。）

从不同的严谨性方面来看，您可以将任何旧的垃圾作为任何旧的种类的类型类，没有任何有趣的结构（但是具有仍然可以按范畴方式讨论的平凡结构，如果必须的话）。然而，您在库中找到的类往往具有丰富的结构。设计上，* -> *上的类通常是Functor的子类，除了fmap之外，还需要某些自然变换的存在。

对于问题2，当然，*上的类会给出*的子范畴。从范畴中排除对象并不是问题，因为身份和组合存在的范畴要求给定对象存在态射，但不对存在哪些对象提出要求。这个事实很无聊，因为它是无聊的可能性。然而，许多在*上的Haskell类型类引起的类别比作为*的子类别产生的类别更有趣。例如，Monoid类给出了一个范畴，其中对象是Monoid的实例，箭头是单子同态：不仅仅是任何旧函数f从一个Monoid到另一个Monoid，而是保留结构的函数：f mempty = mempty和f（mappend x y）= mappend（f x）（f y）。

对于问题3，嗯，在那里，到处都隐藏着大量的范畴结构，肯定有大量的范畴结构可用（可能但不一定）在更高级别上。我特别喜欢在索引集族之间的函子。

type (s :: k -> *) :-> (t :: k -> *) = forall x. s x -> t x

class FunctorIx (f :: (i -> *) -> (j -> *)) where
  mapIx :: (s :-> t) -> (f s :-> f t)

当i和j重合时，询问这样的f何时成为单子是有意义的。通常的范畴定义足够了，尽管我们已经离开了* -> *。

信息是这样的：类型类本身并没有引导出有趣的范畴结构；有许多有趣的范畴结构可以通过各种类型类呈现。从*（集合和函数）到* -> *（函子和自然变换）肯定存在有趣的函子。不要被“Hask”的草率言论蒙蔽了，看到了Haskell中范畴结构的丰富性。

- pigworker

Answer 2

这里的一个问题是范畴论，也就是通用抽象概念，是一种可以用来讨论数学中几乎任何东西的理论。因此，我们讨论的所有内容都可以用范畴论语言表达，但我们可能不会得出任何有趣的结果。

Haskell中，每个成员类型为* -> *的typeclass是否对应于某个类别之间的函数？

不是。 这个问题包含了类型错误！函数将集合映射到集合，但是范畴不是集合。换句话说，函数是范畴Set中的态射。范畴使用类来制定，通常是适当的类，因此您不能将范畴传递给函数。

在Haskell类型的范畴中称为* -> *中的对象为Haskell类型范畴中的态射。其中一个子范畴是Haskell类型之间的functor范畴，称为Functor。

在Haskell中，每个成员类型为*的typeclass是否对应于某些类别（技术上：Hask的一个子范畴）？

是的。 这是真的，但并不是非常有趣。只需从Hask中删除不在您的typeclass中的每个对象，并删除Hask中不消耗和产生来自您的typeclass元素的任何态射，就会留下Hask的一个子范畴。该范畴应该至少具有一个对象：⊥，至少一个态射：id。

类型等于或高于* -> * -> *的typeclass是否对应于某些范畴论概念？

是的。 再次说明，这并不是非常有趣。假设有一个带有类型为* -> * -> *的typeclass X。

X是否是具有相同类别的typeclasses的一个对象？嗯，是的。但这个范畴并不是非常有趣，因为很难想象有任何非平凡的态射。

X是否是某个范畴中的态射？不是，因为它不能组合。

X是否是将Hask中类型的子范畴映射到Hask类型上的态射的functor？可以，但我们必须知道X Y a b和X Z a b相同才能将态射允许到我们的起始Hask类型的子范畴中。

这似乎对我来说不会产生任何有用的见解，这并不奇怪，因为我们并不真正了解X。

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结论

范畴论是那些很容易过度思考和过度应用的工具之一。如果您对范畴论本身并不感兴趣，我的建议是找到具体动机来使用它。具体的类型类（函子、镜头、单子、余单子等）有时会为您提供足够的结构或“原始数学材料”，从中您可以在范畴论中构建出有趣的证明。但是总的来说，研究类型类可能比使用它们更为抽象。

- Dietrich Epp

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我们会称在 * -> * 中的对象为 Haskell 类型范畴中的态射。这些对象本身也是 Hask 的成员，这不也是事实吗？例如，[a] 是一种 * -> * 类型，但 [a] 也是 Hask 的成员，因为它本身就是一种类型（在这种情况下是高阶类型）。使用同样的推理，IO（高阶类型）和 IO String（具体类型）也是 Hask 的成员。这是真的吗？ - George

我认为你在这里的困惑来自于对 [] 的使用举例。请记住，[] 和 [Int] 是不同的东西。因此，[Int] 是 Hask 中的一个对象，但 [] 是 Hask 中的一个态射。使用 [a] 有点令人困惑——就像谈论 f(x)：我是在谈论函数 f 吗？还是在谈论在 x 处求值时函数 f 的值？这些是不同的概念。 - Dietrich Epp

让我们再次摆脱我们正在使用的这些额外变量。当您编写data T a时，T不在Hask中，但是T Int在Hask中。我特别避免谈论T a，因为我不确定您是否在谈论某个特定的a，一个隐含的全称量词，还是一个带有自由变量的类型公式。这是Haskell的一个相当优雅的特点：我们可以谈论T和T Int，而不引入任何额外的变量，如a。 - Dietrich Epp

我们中的一些人使用“类型”来专指“某种类型的事物”。我们中的另一些人使用“类型”来表示“任何类型的事物”。许多人会不加警告地在这些立场之间摇摆不定，因此增加了宇宙中混淆的程度。 - pigworker

好的，我明白了。这只是一个术语约定问题。我感谢这次对话和大家的回答。 - George

Answer 3

您可以想象不保留它们范畴结构的类别之间的映射，但它们并不有趣。在范畴论中，我们希望使用保留结构的映射，这些映射被称为函子。

一种类型构造器 *->* 没有映射态射的规定。因此，您所能做的最好的方法是将它们解释为从 |C| 到 C 的函子，只是因为 |C| 没有非平凡的态射需要映射。

Haskell 中的Functor是一个自函子，只要它符合函子律（在 Haskell 中无法强制执行）。自函子不是它映射的范畴中的对象，因此也不是一种类型。但这也适用于态射——它们不是对象。然而，如果该范畴支持指数，则有一种表示态射作为对象的方式。Haskell 类型范畴是笛卡尔闭合的，因此支持指数。

因此，它是否还提供表示自函子的对象（类型）？据我所知，它没有。因此，函子不是 Hask（或我们称之为什么）的成员。

顺便说一下，一种形如 *->*->* 的映射可以具有作为双函子的非平凡范畴解释——从积范畴 CxC 到 C 的结构保持函子。请参见 Haskell 中 Bifunctor 的定义。

- Bartosz Milewski