在Haskell中的Bifunctors与范畴论中的Bifunctors相比较。

Question

在Haskell中，类Bifunctor的定义如下：

class Bifunctor p where
  bimap :: (a -> b) -> (c -> d) -> p a c -> p b d

在范畴论中，双函子是根据ncatlab的定义，"简单地指一个定义域为积范畴的函子：对于C1、C2和D三个范畴，从C1和C2到D的函子F:C1×C2⟶D被称为从C1和C2到D的双函子。"

现在如果我要实现这个范畴定义，我会写下以下内容：

class MyBifunctor p where
  myBimap :: ((a,c) -> (b,d)) -> p a c -> p b d

特别是，myBimap看起来很像fmap，这是我认为我们想要的，因为双函子就是一个函子。

现在更进一步，自从base 4.18.0以来，添加了一个量化约束：

class (forall a. Functor (p a)) => Bifunctor p where
    bimap :: (a -> b) -> (c -> d) -> p a c -> p b d

这个量化约束告诉我们，一个双函子是一个“在其第二个参数中”的函子，这显然与范畴定义不符。

我理解，从类“Bifunctor”中，可以得到“一些”双函子，其中第一个和第二个参数的类型不相互作用，但不是“所有”的双函子。实际上，我甚至可以说类“Bifunctor”实现了两个函子的“乘积”，而不是一个真正的双函子。

所以我的问题是：我是否误解了什么？还是Haskell中的双函子实际上并不是双函子？类“MyBifunctor”有意义吗？

- 141592653

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你基本上是正确的，只是MyBifunctor只是对Functor在对偶对上的函数的限制，这更符合范畴论中的定义，但对我来说似乎并没有立即的实用性。 - undefined

我不喜欢(a,c) -> (b,d)这部分——在乘积范畴中，这不是一个态射，因为它应该是(大致上)(a->b, c->d)。问题在于Haskell的表示方式具有误导性：在Haskell中，(a,b)表示的是乘积对象a乘以b，而不是对象对（乘积范畴中的对象）。 - undefined

我认为Bifunctor只处理形式为p :: Hask * Hask -> Hask（柯里化）的函子，其中"Hask"是Haskell类型所在的虚构类别。毕竟，Functor类也只处理Hask->Hask的函子。也许可以尝试更通用的方法，使用类似Control.Category.Category的东西，并在那里定义（双）函子。也许在Hackage上的某个包中已经完成了这个（？） - undefined

通过“定义域为乘积范畴的函子”，是的，我们确实希望得到乘积范畴的态射。 - undefined

@chi https://hackage.haskell.org/package/categories-1.0.7/docs/Control-Categorical-Bifunctor.html - undefined

Answer 1

你的MyBifunctor是错误的。在乘积范畴中，态射不是对象对之间的态射（在广义范畴设置中，这意味着什么？），而是对象之间的态射对。比较一下：

((a,c) -> (b,d)) -> p a c -> p b d -- incorrect
(a -> b, c -> d) -> p a c -> p b d -- correct

正确版本在道德上与基础库中的版本相似。

(a -> b) -> (c -> d) -> p a c -> p b d -- base, also correct

这个量化约束告诉我们，一个双函子是其第二个参数的函子，这与范畴定义确实是相符的。

实际上，它确实符合范畴定义。给定一个双函子 B 和第一个源范畴 C 的对象 c，可以定义诱导操作 F = B(c, -)，它将对象 d 映射到 B(c, d)，将箭头 f : d1 -> d2 映射到 B(id_c, f)。很容易验证 F 满足函子定律：

F(id_d) = B(id_c, id_d) = id_B(c,d) = id_F(d)
F(f) . F(g) = B(id_c, f) . B(id_c, g) = B(id_c . id_c, f . g) = B(id_c, f . g) = F(f . g)

在每种情况下，第二个等式都可以通过双函子法则（或者如果你愿意，可以将乘积范畴作为源范畴的函子法则）来证明。一个几乎相同的论证表明B（-，d）也是一个函子，但在Haskell中很难表达这个约束条件。

- Daniel Wagner

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我想补充一点，一个双函子在第一个参数上也是函子性的——如果你保持第二个参数不变的话。有趣的是，一个在每个参数上都是函子性的映射CxC->C不一定是一个双函子，因为函子性的两个应用在一般情况下可能不可交换。具有这种奇怪的二元运算符的范畴被称为预单子范畴。 - undefined

Answer 2

Haskell Bifunctors是“柯里化”的，不同于范畴论，这意味着它们不是来自一个乘积范畴（FunctorOf (Prod (->) (->)) (->)），而是成为一个函子范畴的函子（FunctorOf (->) (Nat (->) (->))）。

这反映了从元组（(a, b) -> c）到函数的柯里化，即函数嵌套（a -> (b -> c)）。

                   Prod (->) (->)  (->)
                   |               |
                   vvvvvvvvvvvv    vvvv
UncurriedEither :: (Type, Type) -> Type
(Curried)Either :: Type -> Type -> Type
                   ^^^^    ^^^^^^^^^^^^
                   |       |
                   (->)    Nat (->) (->)

一个产品类别 Prod (->) (->) '(a, b) '(a', b') 不同于 不是 ((a, b) -> (a', b'))：它是一个函数元组 (a -> a', b -> b') 的相同。

type Prod :: Cat k -> Cat j -> Cat (k, j)
data Prod cat1 cat2 pair pair' where
  Prod :: cat1 a a'
       -> cat2 b b'
       -> Prod cat1 cat2 '(a, b) '(a', b')

那意味着“非柯里化的双函子”是什么意思

type  UncurriedBifunctor :: ((Type, Type) -> Type) -> Constraint
class UncurriedBifunctor bi where
  bimap :: (a -> a', b -> b') -> bi '(a, b) -> bi '(a', b')

不适合任何标准的Haskell数据类型，因为它们都是柯里化的。

- Iceland_jack