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Haskell的Monad变换器在范畴论术语中是什么？

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作为一名数学学生，当我在学习Haskell中的单子时，第一件事就是检查它们是否真的是我所知道的意义上的单子。但后来我了解了单子变换器，它们似乎并不是范畴论研究的内容。
特别地，我希望它们与分配律相关，但它们似乎确实有所不同：单子变换器预期适用于任意单子，而分配律则涉及一个单子和另一个指定的单子之间的关系。
此外，看着单子变换器的常见示例，虽然MaybeT m 将m与 Maybe 组合，但StateT m 在任何一种顺序中都不是 m 与 State 的组合。
那么我的问题是：什么是范畴语言中的单子变换器？
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据说C语言中的单子变换器是Monad（C）上的指向端函子（又称预单子）。尽管如此，我不确定我理解这个定义。也许你理解？如果是，请分享一下 ;) - n. m.
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这篇文章看起来是个不错的开始。 - hammar
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解包“Monad(C)上的指向函子”，你会发现一个单子变换器t是这样的东西：(1)对于每个单子m，它给出一个单子tm；(2)对于每个单子态射m->n，它以函子方式（即，尊重组合）给出另一个单子态射tm->tn，并且t伴随着(3)对于任何单子m，一个自然的单子态射m->tm（即，对于单子态射，你得到的明显正方形的顶点为m、n、tm、tn）。（Monad(C)上的Endofunctor是(1)和(2)，pointed是(3)。） - Omar Antolín-Camarena
哦，所有这些都在Hammar的链接中解释了！（包括我使用但未定义的单子态射术语。） - Omar Antolín-Camarena
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好的，我认为Hammar提供的文章回答了我的问题：在Haskell编程中，单子变换器只需要将单子发送到单子，并允许提升单子的额外操作。因此，它们只是从单子集合到自身的 函数，甚至不是 Monad（Hask）上的内部函子，尽管在实践中，除了ContT之外的所有有用的单子变换器都是函子。如果您将链接作为答案发布，Hammar，我会很高兴接受它。 - Omar Antolín-Camarena
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@Omar：我建议你将那个评论扩展成自己问题的答案，这样做没有任何问题。只要确保它是自包含的，即添加hammars的链接 =D。 - HaskellElephant
3个回答
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这篇论文并没有讨论单子变换器（除了简短提及），所以我不会说它回答了我的问题，但它很有趣，感谢你指出来！ - Omar Antolín-Camarena
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只要你限制自己在理想单子的宇宙中，它确实可以让你以正式、明确定义和愉悦的方式获取单子变换器。 - sclv
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没错（对于那些没有读过sclv论文的人来说，它意味着对于任何理想单子m，您可以获得将单子n发送到m和n的余积（在单子类别中）的单子变换器，并且它也有一个很好的构造），但是我的意思是，尽管它提供了这些单子变换器的示例，但它并没有讨论单子变换器的定义。 - Omar Antolín-Camarena
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用范畴论计算单子变换器是另一篇关于单子变换器的文章，将该概念与范畴论中重要的伴随概念相关联。
此外，它使用了我认为最令人愉悦的范畴论特性，即图追踪，这使得概念更加自然。
希望这可以帮到您。
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Monad transformer是单子范畴中的一个指向函子。

以下是更多细节：

从某个范畴开始，我们考虑那些是单子的自函子M。所有这些单子M形成一个范畴，其态射是满足单子态射定律的自然变换M -> M'。

在这个单子范畴中，Monad transformer是一个指向自函子。什么是单子范畴中的自函子T？这个自函子是从单子M到单子T(M)的映射，以及任何单子态射M -> M'到单子态射T(M) -> T(M')的映射。

如果存在从恒等自函子（Id）到T的自然变换，则自函子T是“指向”的。

身份函子是单子和单子态射的恒等映射。自然变换Id ~> T由其在所有单子M的分量定义。它在M处的分量是一个单子态射M -> T(M)。此外，必须有一个自然性定律（“单子自然性”），它表明对于任何单子M和M'以及任何单子态射M -> M'，由M、M'、T(M)、T(M')组成的图表都是可交换的。

这些数据或多或少与单子变换器所需的通常数据重合。所需的单子态射M -> T(M)是将“外部”单子M提升到转换后的单子中。

构造还包括“举起”函数（这是端函子T对单子态射的作用），它将单子态射M -> M'提升为T(M) -> T(M')。

如果我们考虑单位自函子 T(Id) 的图像，这必须是另一个单子。将其称为变换器的“基础单子”并用 B 表示。然后，对于任何 M，我们有单子态射 B ~> T(M)。这是从基础单子到转换单子的提升。

然而，此定义排除了“非函子”的单子变换器，例如连续单子和密度单子。

分配律仅与某些单子变换器相关。存在两种类型的变压器，在这些变压器中，自然变换 Id ~> T 的 M 分量由 M -> B∘M 或 M ->M∘B 给出。但其他单子具有不是函子组合的变形器，并且对它们没有分配法则。

更多详细信息请参见即将推出的书籍《函数式编程科学》的第14章：https://github.com/winitzki/sofp

这与@hammar的答案相同10年前。 - Omar Antolín-Camarena
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