Scala的Option类型中，fold函数是一个范畴论中的折叠函数吗？

Question

这个问题的答案表明，在Scala中，Option的fold方法是一个catamorphism。从维基百科上可以看到，catamorphism是“从初始代数到其他代数的唯一同态。该概念已应用于函数式编程中的折叠”。所以这似乎是合理的，但我需要了解F-代数类别中的初始代数作为初始对象。

因此，如果Option上的fold确实是一个catamorphism，就需要有某个函子F来创建F-代数类别，其中Option将是初始对象。我无法确定这个函子是什么。

对于类型为A的列表，函子F是F[X] = 1 + A * X。这是有道理的，因为列表是一种递归数据类型，所以如果X是List[A]，那么上面的内容表示类型为A的列表要么是空列表（1），要么是一个A和一个List[A]的对组（*）。但是选项不是递归的。Option[A]只是1 + A（Nothing或A）。所以我不知道函子在哪里。

只是为了明确，我意识到Option已经是一个函子，它将A变成Option[A]，但是对于列表所做的事情是不同的，A是固定的，并且使用函子来描述如何递归构造数据类型。

顺带一提，如果不是一个 catamorphism，它可能不应该被称为 fold，因为这会导致一些 混淆。

- Patrick

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你认为 F 必须是递归的基础是什么？许多代数数据类型并不是递归的。无论如何，你总可以“作弊”，写出类似 F[X] = 1 + Const A X 的东西。 - Travis Brown

F[X] = 1 + Const A X 和 F[X] = 1 + A 所表示的函子相同吗？（将每个类型映射到 Option[A] 的函子。）我认为这是成立的，但这么简单以至于我认为应该会有更多内容。在此 F 下，任何 F-代数都只是具有从 Option[A] 到 B 的映射的类型 B。那么初始性质就是说，给定一个类型 B 和从 Option[A] 到 B 的映射，存在一个唯一的从 Option[A] 到 B 的映射。http://homepages.inf.ed.ac.uk/wadler/papers/free-rectypes/free-rectypes.txt（链接自维基百科）还暗示了初始 F-代数的目的是对于递归数据类型。 - Patrick

此外，如果您允许常量函子，则对于任何类型T，您可以考虑函子F [X] = T。然后，F-代数就是一个类型B和从T到B的映射g。 T立即成为初始代数，而catamoprhism只是将g应用于类型T的对象。这似乎就是发生的事情，因为Option [A]是A和Nothing的余积，从Option [A]到B的映射分裂为从A到B的映射和从Nothing到B的映射，这符合Option上的fold的类型签名。 - Patrick

Answer 1

好的，评论的方向是正确的。我只是一个初学者，所以可能有一些误解。是的，整个重点是能够建模递归类型，但我认为没有什么可以阻止“非递归”的F-代数存在。因为初始代数是方程X ~= F X的“最小不动点”解。对于Option而言，解决方案是微不足道的，因为没有涉及到递归:)

其他初始代数的例子：

List[X] = 1 + A * X，用于表示列表= Nil | Cons a list

Tree[X] = A + A * X * X，用于表示树= Leaf a | Node a tree tree

同样地：

Option[X] = 1 + A，用于表示选项= None | Some a

存在“常量”函子的理由相当简单，如何表示树的节点？ 事实上，为了代数地建模（简单的）递归数据类型，您只需要以下函子：

• U（单位，表示空）
• K（常量，捕获值）
• I（身份，表示递归位置）
• *（积）
• +（余积）

我找到了一个不错的参考资料Functional Generic Programming。

无耻地自推一下：我正在scala-reggen中用代码实现这些概念。

- GClaramunt