在圆锥内（按体积）进行均匀采样

Question

我正在寻找一种算法，可以在一个底部为平面的圆锥体内生成点。

我已经有了沿着创建圆锥体的归一化轴（我们假设它是y轴，因此为(0,1,0)）和圆锥的角度（假设为45度）。

我在网上找到的唯一资源是在锥体内生成向量，但它们基于对球进行采样，因此在底部会得到一种“雪糕筒”的效果，而不是底部为圆盘的效果。

以下是该伪代码：

// Sample phi uniformly on [0, 2PI]
float phi = rand(0, 1) * 2 * PI

// Sample u uniformly from [cos(angle), 1]
float u = rand(0, 1) * (1 - cos(angle * PI/180)) + cos(angle * PI/180)

vec3 = vec3(sqrt(1 - u^2) * cos(phi), u, sqrt(1 - u^2) * sin(phi)))

以下图片是我要寻找的。如果能够在表面或内部生成样本，那就更好了。

- Kinru

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生成一个随机点。如果它不在圆锥体内，则将其丢弃。 - Ignacio Vazquez-Abrams

我可以这样做，但我希望有更优化的方法，因为那种技术平均每次可能需要2个样本。此外，我不确定如何将锥体底部约束为平面而不是半球形。 - Kinru

@IgnacioVazquez-Abrams 这被称为接受/拒绝或拒绝采样。 - pjs

...并且是蒙特卡罗方法的一种。 - Ignacio Vazquez-Abrams

@IgnacioVazquez-Abrams 这也是一种随机变量生成技术，但说“你尝试过随机变量生成吗？”并不会有帮助。我认为使用正确的技术名称是有帮助的。 - pjs

Answer 1

我可以使用积分和概率分布详细解释我的解决方案，但是这个网站缺乏MathJax就使得难度增加了。我将保持我的解释简单易懂，但应该是清楚的。此外，我将使解决方案比您要求的更加通用：我们想要一个高度为 a，底部半径为 b 的直圆锥内的随机点，并且我们希望在该锥的体积上进行均匀抽样。该方法直接选择圆锥内的随机点，无需任何拒绝测试。

首先，让我们考虑那个大锥内部的高度为 h 的小锥，这两个锥具有相同的顶点和平行底面。两个锥显然是相似的，而正方形立方定律表明较小的锥的体积随其高度的立方变化。该高度从0变化到a，我们希望它的立方体均匀地分布在这个范围内。因此，我们选择 h 与均匀随机变量的 立方根 变化，我们得到（Python 3 代码）：

h = a * (random()) ** (1/3)

我们接下来考虑一个圆形区域，它是高度为h的小锥体的底部。通过相似三角形，该底部的半径为(b/a) * h。现在想象一下，在那个大圆区域内有一个半径为r的小圆形区域，两个圆都在同一平面上，并且具有相同的中心。小圆的面积随其半径的平方变化，因此为了使其范围内的面积均匀分布，我们需要对一个均匀随机变量取平方根。我们得到的结果是：

r = (b / a) * h * sqrt(random())

我们现在需要求出半径为r的小圆周上某点的角度t（对应希腊字母 theta）。显然，这个弧度角不依赖于其他因素，所以我们只需使用均匀分布的随机变量即可得到。

t = 2 * pi * random()

我们现在使用随机变量h、r和t来选择起始锥体内的点。如果锥体的顶点位于原点，锥体的轴沿着正y轴，以便底面的中心为（0，a，0），底面上一个圆周的点为（b，a，0），可以选择：

x = r * cos(t)
y = h
z = r * sin(t)

当你询问“在表面上”生成样本时，你并没有明确是指圆锥体的侧面（还是“侧面”？），仅仅是底面，还是整个表面。你的第二张图似乎只是指侧面，但我会提供三种情况的代码。

仅限于侧面

我们再次使用一个高度为h的小锥体放置在大锥体内部。它的表面积随着高度的平方而变化，因此我们取均匀随机变量的平方根。如果我们的点要在表面上，那么它的底面上的圆是固定的，角度也是均匀分布的。所以我们得到：

h = a * sqrt(random())
r = (b / a) * h
t = 2 * pi * random()

使用我上面用于圆锥体内部的x、y和z的相同代码，以获得圆锥侧面的最终随机点。

仅底部

这与选择内部点非常相似，只是高度预定为等于整个圆锥的高度。我们得到以下有些简化的代码：

h = a
r = b * sqrt(random())
t = 2 * pi * random()

再次使用之前的代码来确定最终的 x、y 和 z 值。

整个表面

首先，我们可以随机决定将点放在锥体的底部还是表面上，然后按照上述两种方式之一放置点。锥形的底面积为 pi * b * b，高度为 a，底半径为 b，而侧面积为 pi * b * sqrt(a*a + b*b)。我们使用底面积与总面积之比来选择用于放置点的子表面：

if random() < b / (b + sqrt(a*a + b*b)):
    return point_on_base(a, b)
else:
    return point_on_side(a, b)

使用我上面的代码来完成侧面和底部，以完成该代码。

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这里是 10,000 个随机点的简单 matplotlib 3D 散点图，首先在圆锥内部，然后在其侧表面上。请注意，我将顶角设为 45°，与您的文字说明相同，但不同于您的图片。从其他角度观察似乎证实它们在体积或面积上是均匀的。

- Rory Daulton