使用指数定律拟合数据

Question

我想要将一些数据使用指数函数进行拟合。我使用了scipy.optimize.curve_fit，因为我已经在其他的拟合中使用过它。但这次出现了问题，我无法弄清楚问题所在。

下面是数据的图像： data.png 从图中可以看出，数据似乎遵循指数规律。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

data = np.array([ 
    0.,  1.93468444,  3.69735865,  5.38185988,  6.02549022,
    6.69199075,  7.72316694,  8.08913061,  8.84570241,  8.69711608,
    8.80038144,  9.78951087,  9.68486674, 10.06175145, 10.44039495,
   10.0481156 ,  9.76656204,  9.88581457,  9.81805445, 10.42432252,
   10.41102239, 11.2911395 ,  9.64866184,  9.98072231, 10.83644694,
   10.24748571, 10.81333209, 10.75949899, 10.90367328, 10.42446764,
   10.51441017, 10.73047737, 10.8159758 , 10.51013538, 10.02862504,
    9.76352112, 10.64829309, 10.6293347 , 10.67752596, 10.34801542,
   10.53158576, 10.92883362, 10.67002314, 10.37015825, 10.74876349,
   10.12821343, 10.8974205 , 10.1591103 , 10.588377  , 11.92134556,
   10.309095  , 11.1174362 , 10.72654524, 10.60890374, 10.37456491,
   10.05935346, 11.21295863, 11.09013951, 10.60862773, 11.2558922 ,
   11.24660234, 10.35981557, 10.81284365, 10.96113067, 10.22716439,
    9.8394873 , 10.01892084, 10.38237311, 10.04920671, 10.87782442,
   10.42438756, 10.05614503, 10.5446946 ,  9.99974368, 10.76930547,
   10.22164072, 10.36942999, 10.89888302, 10.47035428, 10.58157374,
   11.12615892, 11.30866718, 10.33215937, 10.46723351, 10.54072701,
   11.45027197, 10.45895588, 10.34176601, 10.78405493, 10.43964778,
   10.34047484, 10.25099046, 11.05847515, 10.27408195, 10.27529163,
   10.16568845, 10.86451738, 10.73205291, 10.73300649, 10.49463959,
   10.03729782
])

t = np.linspace(0, 100, len(data)) #time array

def expo(x, a, b, c): #exponential function for fitting
   return a * np.exp(b * x) + c

fig1, ax1 = plt.subplots()
ax1.plot(t, data, ".", label="data")
coefs = curve_fit(expo, t, data)[0] # fitting
ax1.plot(t, expo(t, coefs[0], coefs[1], coefs[2]), "-", label="fit")
ax1.legend()
plt.show()

问题在于curve_fit()返回的系数a、b和c很大或很小，而实际上应该返回类似于 a = -10.5, b = -0.2, c = 10.5 这样的结果。

- Matias Feldman

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抱歉，但我必须提到这一点：在SE上有很多帖子指出，如果没有提供适当的起始值，curve_fit可能会在非线性拟合时失败，以至于我已经停止计数（实际上甚至没有开始）。简单的搜索会更快、更容易、更经济。 - mikuszefski

Answer 1

拟合过程通过寻找损失函数的局部最小值来实现。如果问题没有限制，可能会有几个这样的局部最小值，每个都给出不同的参数值，你可能得到一个与你期望的不同的结果。

如果你有猜测参数应该是什么，你可以提供它来缩小搜索范围：

# with an initial guess for values of a, b, c 
coefs = curve_fit(expo, t, data, p0=[-10, -1, 10])[0]

它生成的系数为：

array([-10.48815244,  -0.2091102 ,  10.56699883])

另外，您可以为参数指定绑定：

# with lower and upper bounds for a, b, c
coefs = curve_fit(expo, t, data, bounds=([-20, -2, 0], [-10, 2, 20]))[0]

这将得到与上面相同的结果。

- bb1

Answer 2

你的软件可能实现了非线性回归算法。

开始迭代过程需要“猜测”的参数初始值。如果用户没有提供初始值，则软件会计算一些初始值。这通常是失败的原因，因为计算出的初始值可能与正确值相差太远。

可以使用不需要初始值的线性回归方法来找到一些好的初始值。请参见下面的计算。

结果是：

如果以上结果的准确度不足以满足某些指定拟合标准，则需要进行非线性回归。在这种情况下，可以使用上述参数$a,b,c$的值作为初始值来启动迭代计算。

注意：将非线性回归线性化的方法原则如上所示，解释在此处：https://fr.scribd.com/doc/14674814/Regressions-et-equations-integrales。

- JJacquelin

Answer 3

这是我尝试过的方法，使用了np.exp中的负b。

def expo(x,a,b,c): 
   return a*np.exp(-b*x) + c

>>>[-10.4881516    0.20911016  10.5669989 ]

- YD_