为什么log(1000)/log(10)不同于log10(1000)？

Question

今天，我遇到了一个相当奇怪的问题。我需要计算数字的字符串长度，所以我想出了这个解决方案：

// say the number is 1000
(int)(log(1000)/log(10)) + 1

这是基于数学公式的。

log₁₀x = log_nx/log_n10（在这里有解释）。

但我发现，在C中：

(int)(log(1000)/log(10)) + 1

不等于NOT

(int) log10(1000) + 1

但事实并非如此。 我甚至使用以下Java代码尝试了同样的事情。

(int) (Math.log(1000) / Math.log(10)) + 1
(int) Math.log10(1000) + 1

但它表现出相同错误的方式。

故事继续。在执行这段代码之后

for (int i = 10; i < 10000000; i *= 10) {
   System.out.println(((int) (Math.log10(i)) + 1) + 
                " " + ((int) (Math.log(i) / Math.log(10)) + 1));
}

我明白了

2 2
3 3
4 3  // here second method produces wrong result for 1000
5 5
6 6
7 6  // here again

这个错误似乎出现在1000的倍数上。

我向我的C语言老师展示了这个问题，他说这可能是由于对数除法过程中的某种类型转换错误引起的，但他不知道原因。

所以我的问题是：

• 为什么 (int) (Math.log(1000) / Math.log(10)) + 1 不等于 (int) Math.log10(1000) + 1，尽管根据数学应该相等。
• 为什么只有1000的倍数才有问题？

编辑：这不是四舍五入误差，因为

Math.floor(Math.log10(i)) + 1
Math.floor(Math.log(i) / Math.log(10)) + 1

产生相同的错误输出

2 2
3 3
4 3
5 5
6 6
7 6

编辑2：我必须向下取整，因为我想知道数字的位数。

log10(999) + 1 = 3.9995654882259823
log10(1000) + 1 =  4.0

如果我只是四舍五入，那么得到的结果（4）是错误的，因为999有3个数字。

- Jakub Arnold

---

这些的未舍入输出为： log10(1000) = 4.0 log(1000)/log(10) = 3.9999999999999996使用“floor”而不是“round”的理由是什么？ - pjp

尝试计算log10(999) + 1，你会得到3.9995654882259823，但需要向下取整，因为我想要数字的位数。如果我四舍五入，会得到4，这与log10(1000) + 1相同，但它多了一位数字。 - Jakub Arnold

最好使用 Integer.toString(n).length() 来获取长度。 - starblue

你有一位编程老师，他不理解有限精度。这是一所糟糕的大学。 - erikkallen

查看此问题及其相关源代码，以使用BigDecimals计算对数 https://dev59.com/3XRB5IYBdhLWcg3wCjjO - pjp

Answer 1

您提供了代码片段

for (int i = 10; i < 10000000; i *= 10) {
   System.out.println(((int) (Math.log10(i)) + 1) + 
                " " + ((int) (Math.log(i) / Math.log(10)) + 1));
}

为了说明您的问题，只需删除对 int 的强制转换并再次运行循环即可。您将会收到

2.0 2.0
3.0 3.0
4.0 3.9999999999999996
5.0 5.0
6.0 6.0
7.0 6.999999999999999

这个回答已经直接回答了你的问题。正如tliff所说，强制转换会截断小数而不是正确舍入。

编辑: 你更新了你的问题，使用 floor(), 但是像强制转换一样，floor() 会舍去小数并向下取整！

- janko

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如果我不强制转换并执行Math.log10(9) + 1的话，它会得出类似于1.954的结果，而正确答案应该是1，因为2是Math.log10(10) + 1的结果。 - Jakub Arnold

gs：不，4有一个精确的浮点表示。错误来自除法之前的不精确值。 - caf

为什么这被标记为正确答案？你是否找到了如何区分问题中的log10（999）和log10（1000）的方法？ - Aurelien Ribon

Answer 2

日志操作是一种超越函数。计算机评估结果的最佳方法是使用逼近所需操作的代数函数。结果的准确性取决于计算机使用的算法（这可能是FPU中的微码）。在英特尔FPU上，有影响各种超越函数（三角函数也是超越函数）精度的设置，FPU规格将详细说明所使用算法的准确级别。

因此，除了上述提到的舍入误差之外，还存在准确性问题，因为计算出的log(x)可能不等于实际的log(x)。

- Skizz

Answer 3

这是由于精度和舍入问题导致的。 Math.log(1000) / Math.log(10) 不等于 3。

如果需要精确度，请不要使用浮点算术 - 并且一般放弃对数。 浮点数固有模糊性。 要获得精确结果，请使用整数算术。

我真的建议您一般不要走这条路，但听起来您正在取对整数以确定某个数量级。 如果是这种情况，则 (int)(Math.log(x+0.5) / Math.log(10)) 更稳定 - 但请注意，double 只有53位精度，因此大约在第15个双倍体时，不能准确地表示整数，那么这个技巧就行不通了。

- Eamon Nerbonne

Answer 4

将一个非常小的值加到分子上，以避免 Skizz 指出的精度问题。

// say the number is 1000
(int)((log(1000)+1E-14)/log(10)) + 1

1E-14应该足以将准确性推回正轨。

将小值从1E-15更改为1E-14，这将导致某些输入产生错误的结果

我对一组随机的unsigned long long进行了1E-14的测试，所有数字都通过了测试。

- pmg

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1E-15太小了，对于“1000”无效...最好使用上面建议的0.5。 - user85421

你说得没错...但是0.5表明你正在尝试解决一个四舍五入的问题。1E-14（使用IEEE 64位双精度）适用于1000，至少在我测试的0到2^64-1之间的几个值上有效。 - pmg

Answer 5

更新：这是由于精度和四舍五入误差导致的。

- Mitch Wheat

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没关系，因为它使用公式将一个进制转换为另一个进制。 - Jakub Arnold

Answer 6

如果你想要把结果作为整数呈现，你应该进行四舍五入而不仅是简单地截取小数点后的部分。

你可能得到了类似6.999999的数字并将其向下舍入为6。

- tliff

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我实际上不能四舍五入，因为当你有log10（100）和log10（99）时，第二个数字略低于2，所以当我四舍五入时，它会给我与100相同的结果，这是错误的..不过我可以使用floor（）函数向下取整 - Jakub Arnold

Answer 7

使用(int)强制转换，您正在截断必要的小数部分。尝试不进行强制转换将它们作为双精度打印（反正您为什么要进行强制转换？），那么一切都会好的。

- Michael Foukarakis

Answer 8

打印出中间结果，即log(1000)，log(10)，log(1000)/log(10)和log10(1000)。这比猜测更有帮助。

- Secure