将3D点转换为2D

Question

我有一组点(x1，x2，..xn)，这些点位于由Ax+By+Cz+d=0定义的平面上。我想找到转换矩阵，将其平移到XY平面并进行旋转。因此，新的点坐标将为x1'=(xnew, ynew,0)。

很多答案提供四元数、点积或叉积矩阵。我不确定哪一个是正确的方法。

谢谢。

- stephie

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对我来说，似乎没有单一的转换矩阵 - 你不知道绕表面法线（A、B、C）旋转的情况。如果你的表面是钉子上的便条纸（钉子是表面法线），而我旋转了便条纸而不移动钉子，那就不会被记录下来。所以你只是在寻找保持距离和角度的任何变换吗？或者例如，你有一对特定的点，你知道它们都在x轴上吗？ - Tommy

Answer 1

首先，除非在你的平面方程中d=0，否则你无法应用线性变换。相反，你需要执行仿射变换。

一种方法是确定一个角度和向量，使你的点集位于与XY平面平行的平面上（即，你的转换后点集的Z分量具有相同的值）。然后你只需去掉Z分量即可。

为此，让V成为包含你的点的平面法线归一化向量。为了方便，从你的平面方程Ax+By+Cz+d=0定义：

V = (A, B, C)
V' = V / ||V|| = (A', B', C')
Z = (0, 0, 1)

其中：

A' = A / ||V||
B' = B / ||V||
C' = C / ||V||
||V|| = (A2+B2+C2)1/2

角度将简单地为：

θ = cos-1(Z∙V / ||V||)
  = cos-1(Z∙V')
  = cos-1(C')

旋转的轴R就是规范化平面法线V'和Z的叉积。即

R = V'×Z
  = (B', -A', 0)

你现在可以使用这个角度/轴对来构建所需的四元数旋转，以将数据集中所有点旋转到与XY平面平行的平面上。然后，就像我之前说的那样，只需删除Z分量即可执行正交投影到XY平面上。 更新： antonakos提出了一个很好的观点，在使用轴/角度对的API之前需要对R进行归一化处理。

- andand

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一个符号问题：R = V' × Z，而不是 R = Z × V'。另外值得注意的是，许多轴/角度API需要将 R 规范化（但它还没有被规范化）。 - antonakos