蒙特卡罗方法用于投资组合优化

Question

我想创建一个n列的向量，每个向量长度为x，需要满足以下条件：

i) 每个向量的第i个分量（例如，x[i]）都有最小值和最大值。最小值和最大值以百分比表示。

ii) 每列的总和为1。

iii) 我想确保平均地采样整个空间。

我编写了以下程序，名为'gen_port'，它接受两个向量，包含向量的下限和上限，以及要生成的随机向量数（例如，N）。

def gen_port (lower_bound, upper_bound, number):
    import random
    # Given vector description of minimum and maximum, return an array of 'number' vectors,  each of which sums to 100%
    # We generate RVs, scale them by upper and lower bounds, then normalize. 
    values = np.random.random((len(lower_bound),number))   # create big array of RVs. 
    for n in range (0,number):
        for i in range (0, len(lower_bound)):
            values[i,n] = np.float(lower_bound[i]+ values[i,n]*(upper_bound[i]-lower_bound[i]))  # scale
    return values

因此，例如，如果我正在生成由以下向量描述的10列向量：

lower_bound = [0.0,0.0,0.0,0.0]
upper_bound = [0.50,0.50,0.50,0.50] 
gen_ports(lower_bound, upper_bound, 10)

[Out]
array([[ 0.15749895,  0.21279324,  0.35603417,  0.27367365],
   [ 0.2970716 ,  0.48189552,  0.04709743,  0.17393545],
   [ 0.20367186,  0.47925996,  0.21349772,  0.10357047],
   [ 0.29129967,  0.15936119,  0.26925573,  0.28008341],
   [ 0.11058273,  0.2699138 ,  0.39068379,  0.22881968],
   [ 0.21286622,  0.39058314,  0.33895212,  0.05759852],
   [ 0.18726399,  0.37648587,  0.32808714,  0.108163  ],
   [ 0.03839954,  0.24170767,  0.40299362,  0.31689917],
   [ 0.35782691,  0.31928643,  0.24712695,  0.0757597 ],
   [ 0.25595576,  0.08776559,  0.16836131,  0.48791733]])

然而，如果下界和上界的值不相同，我希望能够填充向量。例如，如果：

[In]:
lower_bound = [0.0,0.25,0.25,0.0]
upper_bound = [0.50,0.50,0.75,1.0] 
gen_ports(lower_bound, upper_bound, 100000)

结果不等于1（以下仅包括10个样本）：

[Out]:
array([[ 0.16010701,  0.31426425,  0.38776233,  0.1378664 ],
   [ 0.00360632,  0.37343983,  0.57538205,  0.0475718 ],
   [ 0.28273906,  0.2228893 ,  0.1998151 ,  0.29455654],
   [ 0.06602521,  0.21386937,  0.49896407,  0.22114134],
   [ 0.17785613,  0.33885919,  0.25276605,  0.23051864],
   [ 0.07223014,  0.19988808,  0.16398971,  0.56389207],
   [ 0.14320281,  0.14400242,  0.18276333,  0.53003144],
   [ 0.04962725,  0.2578919 ,  0.19029586,  0.50218499],
   [ 0.01619681,  0.21040566,  0.30615235,  0.46724517],
   [ 0.10905285,  0.23641745,  0.40660215,  0.24792755]])

我希望能够生成100,000个方案，以便在下限和上限定义的空间内均匀采样。但是我遇到了困难，因为当前函数会在向量被下限和上限翻译后进行归一化处理。

所以，我有一个明显的第一个问题 - 如何修改常规程序以适应大多数情况？

另外：

i）这种方法正确吗？例如，我通过此实现引入了任何偏差吗？

ii）是否有更快和/或更具“Python风格”的方法来完成此操作？对于n = 1,000,000和x = 35，需要大约15分钟。

- GPB

Answer 1

如果您不需要允许任何下限/上限要求（或者，如果下限始终为0，上限始终为1），那么答案将是众所周知的狄利克雷分布。

https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_distribution

在链接中有Python采样代码。对于最简单的情况，其中$\vec{a}=1$，还有非常简单的方法来采样狄利克雷分布，如果需要，我可以找到它。但是边界会引入额外的问题...

更新

我相信你可以使用拒绝采样，从狄利克雷分布中采样并拒绝任何不适合区间的内容，但我想效率可能会相当低。

第二次更新

找到了一个链接，其中包含Python狄利克雷采样，用于所有$\alpha=1$的情况。 生成N个均匀随机数，总和为M

- Severin Pappadeux

---

谢谢，我会检查这个。正如你所指出的，我需要允许不同的上限和下限。但这是一个有用的第一步。 - GPB

Answer 2

除非你有绝对需要使用蒙特卡罗模拟的理由，比如这是作业，否则更高效的方法是使用数值优化器，例如：

from scipy.optimize import minimize

def find_allocations(prices):
    """Find optimal allocations for a portfolio, optimizing Sharpe ratio.

    Parameters
    ----------
        prices: DataFrame, daily prices for each stock in portfolio

    Returns
    -------
        allocs: optimal allocations, as fractions that sum to 1.0
    """
    def sharpe_ratio(allocs):
        # 1e7 is arbitrary for starting portfolio value
        port_vals = (prices / prices.ix[0]) * allocs * 1e7
        returns = port_vals.pct_change()
        avg_daily_ret = returns.means(0)
        std_daily_ret = returns.std(0)
        return -(252 ** 0.5) * avg_daily_ret / std_daily_ret

    n = prices.shape[1]
    x0 = [1.0 / n] * n
    bounds = [(0.0, 1.0)] * n
    constraints = ({'type': 'eq', 'fun': lambda x: 1.0 - np.sum(np.abs(x))})
    allocs = minimize(sharpe_ratio, x0, method = 'SLSQP', 
                      bounds = bounds, constraints = constraints)
    return allocs.x

请注意，这是在最小化夏普比的负值，因此实际上是在最大化夏普比，正如您所希望的那样。根据您想要优化的内容，某些目标函数（例如最小方差限制返回相同的等额分配）具有解析解决方案。

- Adam Acosta

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不，这不是“作业”。我也不是在试图优化某些回报问题。我正在尝试填充一个潜在的组合表面，其中每个资产与其他资产具有独特的相关性。如果有人能回答我的问题，而不是猜测我试图解决什么问题，那就更好了。 - GPB