什么是等同和相等之间的区别？

Question

我在数学和计算机科学的阅读中看到过几次使用等价符号≡（基本上是带有三条线的“=”），并且总是习惯将其读作相等。这两个概念之间有什么区别？

这两个符号确实非常相似，但它们代表不同的意义。等号=通常表示两个物体相等，而等价符号 ≡则表示两个物体在某些方面等价或具有相同的属性，但不一定完全相等。 在计算机科学中，等价关系通常指两个对象具有相同的结构或行为。 例如，如果两个算法最终会产生相同的结果，则可以说它们是等价的。

- DrFredEdison

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我很想用尖酸刻薄的回答“平等==等价”，但是我知道这个回答是错误的，所以它只会被投票淹没。 :) （注：本翻译尽量保留原文的语言风格和幽默感，同时确保翻译准确并易于理解。） - Bill the Lizard

Smalltalk区分这两个概念：等价性（==）是测试两个对象是否为同一对象的测试。相等性（=）是测试两个对象是否表示相同组件的测试。（来源：Smalltalk-80蓝皮书，第96页，比较对象） - alexg

这是一个很好的问题，但我认为它太笼统了 - 我必须分别处理数学和形式逻辑，然后针对每种区分两者的编程语言进行处理...有时它们称之为不同的名称，例如“相等”和“身份”。例如，对于C ++-https://www.reddit.com/r/cpp_questions/comments/47k4gj/equality_vs_equivalence/ - 在该语言中，“等价性”没有“运算符”，但它是指在某些排序（内置或自定义）中既不是<也不是>的概念。这是一种用于排序稳定性和算法行为等方面的有用术语。 - Tomasz Gandor

Answer 1

维基百科：等价关系:

在数学中，等价关系是一个将某个集合内的两个元素“等同”起来的二元关系。设a、b和c为集合X内任意元素，则“a ~ b”或“a ≡ b”表示a等价于b。

等价关系“~”具有自反性、对称性和传递性。

换句话说，等号就是等价关系的一种实例。

编辑：这看似简单的自反性、对称性和传递性标准并不总是显然的。例如，可参考Bloch著《Effective Java》第二版35页。

public final class CaseInsensitiveString {
...
    // broken
    @Override public boolean equals(Object o) {
        if (o instance of CaseInsensitiveString)
            return s.equalsIgnoreCase(
                ((CaseInsensitiveString) o).s);
        if (o instanceof String) // One-way interoperability!
            return s.equalsIgnoreCase((String) o);
        return false;
    }  
}

上述的等于实现破坏了对称性，因为CaseInsensitiveString知道String类，但是String类不知道CaseInsensitiveString。

- eed3si9n

Answer 2

我理解你的问题是关于数学符号表示而不是编程。你所提到的三个等号可以在HTML中写作≡，在LaTeX中写作\equiv。

通常情况下，a ≡ b 表示“a被定义为b”或“使a等于b”。

因此，2+2=4，但是φ ≡ (1+sqrt(5))/2。

以下是一个方便的等价表：

Mathematicians      Computer scientists
--------------      -------------------
      =                      ==
      ≡                      =

其他关于等价关系的回答也是正确的，但我认为它们不够常见。还有一种形式为 ≡ b (mod m) 的等式，发音为“a与b在模m意义下同余”，在程序员的术语中可以表示为 mod(a,m) == mod(b,m)。换句话说，在模m的情况下，a和b相等。

- dreeves

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“a ≡ b”在数学中并不表示“a被定义为b”。 “≡”的意思是“完全等于”，例如“f（x）≡0”表示对于任何x，等式“f（x）= 0”都成立。相比之下，“f（x）= 0”是一个方程，可以找到它的解... - Anton Petrunin

“计算机科学家”下列出的符号在计算机科学领域并不常见，它只用于编程语言中。 - Jonathan

“≡” 的唯一真正含义是：“去查看你的情况下定义的含义。”它可以有太多不同的意思。一个使用它却没有解释它的文本是不正确的。 - Bolpat

Answer 3

许多编程语言区分对象的等价性和对象值的等价性。

例如，Ruby有三种不同的测试相等性的方法。首先，equal?会比较两个变量，以查看它们是否指向同一个实例。这相当于在C风格语言中进行检查，以查看2个指针是否指向同一地址。第二种方法，==，测试值的等价性。因此，在这种情况下，3 == 3.0将为真。第三个方法eql?则比较值和类类型。

Lisp也有不同类型的相等性概念，具体取决于您要测试什么。

- Michel

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这是一个对程序员来说很实用的描述。等价性指“a类似于b”，而相等性指“a等于b”。 - Josh Petitt

Answer 4

在我所见过区分等号和等价的语言中，等号通常表示类型和值都相同，而等价则只表示值相同。例如：

int i = 3;
double d = 3.0;

i和d之间具有等价关系，因为它们代表相同的值，但不是相等关系，因为它们具有不同的类型。其他语言可能会对等价关系有不同的理解（比如两个变量是否代表相同的对象）。

- Robert Gamble

Answer 5

上面的答案都是正确的/部分正确的，但它们并没有完全解释两者之间的区别。在理论计算机科学（以及数学的其他分支）中，这与逻辑方程式中自由变量的量化有关（当我们同时使用这两种符号时）。

对我来说，最好理解这个差异的方式是：

1.依据定义 A ≡ B 意味着 对于A和B中可能的所有自由变量的值，A = B 或者 A ≡ B <=> [A = B]

2.通过样例 x=2x 当且仅当 x=0 时， x ≡ 2x （实际上当且仅当也等同于 ≡） 因为x不等于2x的所有可能值

我希望这有所帮助。

编辑： 我脑海中出现的另一件事是这两个定义。

A=B被定义为A<=B和A>=B，其中<=（小于等于，不意味着）可以是任何排序关系

A ≡ B被定义为 A <=> B（当且仅当，意味着双方），值得注意的是，演绎也是一种排序关系，因此使用=而不是≡是可能的（但不太精确，常常令人困惑）。

我想结论是，当你看到"="时，你必须根据上下文来确定作者的意图。

- Pawel

Answer 6

把它从编程的领域带出去。

• (31) equal -- (具有与另一个相同的数量、价值或度量; "以平等条件"; "所有人在法律面前都是平等的")

• equivalent, tantamount -- (本质上相当于某物; "它和黄金一样好"; "一个愿望相当于一条命令"; "他的陈述与承认有罪等同")

至少在我的字典中，“equivalence”表示它是原始物品的足够好的替代，但不一定完全相同，同样，“equality”传达了完全相同的意思。

null == 0   # true , null is equivelant to 0 ( in php ) 
null === 0  # false, null is not equal to 0 ( in php )  

有些人使用≈来表示非相同的值。

- Kent Fredric

Answer 7

两者的区别主要在于引入这两个概念的级别不同。'≡'是形式逻辑中的符号，给定两个命题a和b，a ≡ b表示(a => b AND b => a)。

'='则是集合上等价关系的典型例子，并且至少需要一套集合理论。通常，当一个特定的集合被定义时，它会提供一个适当的等价关系概念，以等号的形式表示。例如，当你定义有理数集Q时，你定义等式a/b = c/d（其中a/b和c/d是有理数），当且仅当ad = bc（其中ad和bc是整数，整数的等式概念已经在其他地方定义）。

有时你会发现非正式的符号f(x) ≡ g(x)，其中f和g是函数：它意味着f和g具有相同的定义域，对于该定义域中的每个x，f(x) = g(x)（这又是一个等价关系）。最后，有时你会发现≡（或~）作为一个通用符号来表示等价关系。

- Federico Ramponi

Answer 8

你可能会有两个具有相同真值（等价）的语句或两个相同的语句（等式）。同时，“带三条杠的等号”也可以表示“定义为”。

- BobbyShaftoe

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我总是将三条线读作“等同于”。我会使用“：=”表示“定义为”。 - Mitch Wheat

Answer 9

第一个问题是，在这种情况下，“平等”和“等价”是什么意思？基本上，上下文可以自由定义这些术语。

从各种定义中我得到的普遍观点是：对于被称为“相等”的值，无论你从哪个值读取，都不应该有任何区别。

违反这一期望的最极端例子是C++：如果x == y的结果为true，则称x和y为相等，如果!(x < y) && !(y < x)成立，则称x和y为等价。即使不考虑用户自定义重载操作符，在浮点数（float、double）情况下也存在差异：所有的NaN值彼此等价（实际上与任何其他值都等价），但与包括自身在内的任何其他值都不相等，而值-0.0和+0.0比较相等（且等价），尽管聪明的人可以区分它们。

在许多情况下，您需要更准确的术语来传达您的意图。给定两个变量x和y，

• 身份或“相同”用于表示只有一个对象，x和y都指向它。通过x做的任何更改都会无意中通过y观察到，反之亦然。在Java中，使用==检查引用类型变量的身份，在C#中使用ReferenceEquals方法。在C++中，如果x和y是引用，std::addressof(x) == std::addressof(y)可以使用（而&x == &y大部分情况下也可以工作，但&可以针对用户定义的类型进行自定义）。
• 按位或结构相等用于表示x和y的内部表示相同。请注意，当对象在内部可以引用（部分）自身时，按位相等会失效。为了获得预期的含义，在这种情况下，概念必须被细化为：结构相同。在D中，可以通过is来检查按位相等，C提供了memcmp。我不知道有哪种语言内置了结构相等测试。
• 不可区分性或可替代性用于表示值无法通过其公共接口进行区分：如果函数f接受两个参数，并且x和y是不可区分的，则调用f(x, y)、f(x, x)和f(y, y)始终返回不可区分的值 - 除非f直接检查身份（参见上面的要点）或者可能通过改变参数来检查身份。一个例子可以是两个恰好包含不可区分元素的搜索树，但内部树的布局不同。内部树布局是通常无法通过其公共方法观察到的实现细节。
  这也被称为莱布尼兹相等，以哥特弗里德·威廉·莱布尼兹命名，他将相等定义为没有差异。
• 等价用于表示对象从某种抽象推理中被认为是本质上相同的值。对于可区分的等价值的一个例子是观察浮点数具有与+0.0不同的负零-0.0，例如sign(1/x)对于-0.0和+0.0是不同的。许多具有C语言风格（也称为Algol语法）的语言使用==来检查浮点数的等价性。大多数面向对象的语言使用equals（或类似命名的）方法来检查对象的等价性。C#有IEquatable<T>接口，用于指定类上定义了一个标准/规范/默认的等价关系。在Java中，每个类都继承自Object，需要重写equals方法。

正如您所看到的，这些概念变得越来越模糊。检查身份是大多数语言都可以表达的。身份和位等价通常无法被程序员钩取，因为这些概念与解释无关。曾经有一个C++20提案被拒绝了，它将引入最后两个概念作为强†和弱相等†。（† 网页已经不存在，404。）原始论文在这里。

有一些没有变异的语言，主要是函数式语言，例如Haskell。在那里，等号和等价性之间的区别不太重要，而更倾向于这些词在数学上的使用。（在数学中，一般情况下使用（递归定义的）序列代替重新赋值。）

C语言拥有的一切，同样适用于C++和任何能够使用C功能的语言。关于C#的所有说法也适用于Visual Basic .NET，以及可能是构建在.NET框架上的所有语言。类似地，Java代表了JRE语言，其中还包括Kotlin和Scala。

如果你只想要愚蠢的定义而不是智慧：等价关系是集合上的一个自反、对称和传递的二元关系。等式则是所有这些等价关系的交集。

- Bolpat

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相等性是所有等价关系的交集。最好称之为“恒等”，因为有些人使用“相等性”一词来包括等价关系。对于等价关系的形式集合论定义并不“愚蠢”，对于集合论目的而言，它非常优雅，例如“一切皆为集合”。 - john

“愚蠢”是指该段落提供了可以放在演示文稿幻灯片上的事实，但没有解释、没有说明甚至没有激励性的例子。 - Bolpat

Answer 10

实际上，相等性确实是一种特殊的等价关系。考虑下面这个说法：

0.9999999999999999... = 1

这表明相等只是“字符串数字”上的一个等价关系（严格定义为Z -> {0,...,9}的函数）。从这个例子可以看出，这些等价类甚至不是单元素集合。

- Purfideas