logo标签列表

什么是特征值和展开？

algorithmmath
3

什么是特征值、特征向量和展开，作为算法设计师，我如何使用它们？

编辑：我想知道你在程序中如何使用它，以便我有一个想法。谢谢。

1
这听起来像是一道考试题。 - Bluephlame
不要了。上帝啊，这些注释真让人烦。 - unj2
不管你喜不喜欢，这听起来确实像一道考试题，没有必要对此恶言相向。 - Luke Schafer
如果您需要更多信息，请告诉我。 - ralphtheninja
3
作为一个算法设计师，如何使用特征值？这是一道非常开放式的考试题目。一个好的回答将列出课程大纲中涉及到特征值的每个算法，再加上一些其他内容以表现出对学科的整体掌握。听起来更像是一篇小论文。 - Steve Jessop
如果你使用过它，请告诉我相关情况。 - unj2
5个回答
3

它们不仅仅用于矩阵代数，还应用广泛，例如：

  • 隐马尔科夫模型的渐近状态分布由与状态转移矩阵相关的特征值为1的左特征向量给出。
  • 在网络中寻找社区结构的最佳和最快方法之一是构建所谓的模块性矩阵（基本上是两个节点之间“惊人”的连接），然后与具有最大特征值的特征向量的元素的符号告诉您如何将网络划分为两个社区。
  • 在主成分分析中，您从数据的n>=k维协方差矩阵中选择与前k个最大特征值相关联的特征向量，并将数据投影到k维子空间中。使用最大特征值确保您保留对数据最重要的维度，因为它们具有最大的方差。
  • 许多图像识别方法（例如面部识别）依赖于从已知数据（大量面孔）构建一个特征基并查看使用特征基重建目标图像的难度-如果很容易，那么目标图像可能来自特征基描述的集合（即特征脸容易重建面部，但不易重建汽车等）。
  • 如果你对科学计算感兴趣，量子哈密顿量的特征向量是稳定状态，即如果系统在时间t1处处于特征状态，则在时间t2>t1时，如果没有受到干扰，则仍将处于该特征状态。此外，与哈密顿量的最小特征值相关联的特征向量是系统的基态。
2
特征向量和对应的特征值主要用于在不同的坐标系之间切换。通过将问题从一个坐标系移动到另一个坐标系，这可能会极大地简化问题和计算。
这个新的坐标系以特征向量作为其基向量，即它们“张成”了这个坐标系。由于它们可以被归一化，因此从第一个坐标系的变换矩阵是“正交”的，也就是说特征向量具有大小为1并且彼此垂直。
在转换后的坐标系中，线性操作A（矩阵）是纯对角线的。请参见Spectral Theorem和Eigendecomposition获取更多信息。
一个快速的应用是，例如，您可以从一般二次曲线：
ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2dx + 2fy + g = 0
重写为
AX^2 + BY^2 + C = 0
其中X和Y沿着特征向量的方向计数。
干杯！
谢谢。你能指出一些好的资源吗？最好是一些更注重实践和练习，而不是理论的资源。 - unj2
1
以下是一个简单的示例，展示了如何使用特征值和特征向量轻松计算A^n（A的n次方）：http://www.sosmath.com/matrix/eigen0/eigen0.html很难完全不涉及理论，因为您需要理解背后的数学原理才能使用它。 - ralphtheninja
1

使用物理学家偏爱的符号表示，如果我们有一个算子H，那么当且仅当|x>是H的本征态时，它才是H的本征态。

H|x> = h|x>

我们将h称为在H下与特征向量|x>相关联的特征值。

（这里系统的状态可以用矩阵表示，使得这个数学概念与已经链接的所有其他表达式同构。）

这就引出了一旦发现它们后这些东西的用途：

给定算子下系统的完整特征向量集合形成系统的正交跨度集合。如果没有退化，这个集合可能是一个基础。这非常有用，因为它允许对系统的任意（非特征值）状态进行极简表达。

哇，那真是复杂啊。让我想起了大学物理课的日子。 - jrharshath
1
1

特征值和特征向量在矩阵计算中被用作求逆矩阵。因此，如果您需要编写数学代码，预先计算它们可以加速某些操作。

简而言之，如果您进行矩阵代数、线性代数等运算，就需要它们。

网页内容由stack overflow 提供, 点击上面的
可以查看英文原文，
原文链接