什么是数学函数和编程函数的区别？

Question

什么是数学函数和编程函数的区别？

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在数学和编程中，函数有什么区别？

- Alon Gubkin

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需要翻译的内容：It should be noted that not all functions in programming are the same. In a pure functional programming language like Haskell, functions are closer to functions in mathematics. In imperative languages, they can be quite different.并非所有编程语言中的函数都相同。在纯函数式编程语言Haskell中，函数更接近于数学中的函数。而在命令式编程语言中，它们可能非常不同。 - Jacob

你有没有想要使用的特定编程语言？ - Brian

是的，我在谈论C语言函数。 - Alon Gubkin

6个回答

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这取决于领域（我指的不是函数的域，而是研究的领域），可能还取决于语言。

在数学中，对于给定的输入值（垂直线测试，请记住），函数具有将输入映射到仅一个输出的输入。在编程中，这可能不完全相同，这取决于您在“输入”和“函数逻辑”之间划分界限的位置。

例如，让我们想象一个函数 rand()，它读取大气条件以得到真正的随机数。让我们还想象一种调用函数，它以一个整数参数作为乘数。以下是否为函数？

int giveRandAtmosWithMul(int mult)
{
    return mult * rand();
}

在数学意义上，如果您只考虑mult作为问题的唯一输入，则可能不是一个函数，但显然rand()也提供了输入（即使rand()在机器代码中始终具有相同的入口点）。

正如您所看到的，如果没有一些每个人都同意的标准协议，这些差异实际上无法进行客观定义。

- San Jacinto

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我认为最重要的区别在于，数学中的函数（以及函数式编程）不能改变状态，而（命令式）编程函数可以。

- houbysoft

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其他答案是正确的 - 这些是两个不同的东西。相反地，我将展示它们是相关的。我将用->表示编程函数，用=>表示数学函数。

假设您有一种支持异常的语言。在这种情况下，您可以将编程函数A -> B视为数学函数A => B + E，其中“B + E”表示类型为B或类型为E的内容。您的语言有两个关键字来从函数返回，“return”和“throw”。

现在，您可以通过编写g(f(x))组合两个函数f：A -> B和g：B -> C。这是一个接受A并返回C的函数。您可以在许多语言中执行此操作，例如Java或Python。在幕后，如果f(x)引发异常，则不会调用g，而是传播该异常 - 想想g(1/0)。语言会处理这个问题，您不需要检查f的结果是否是异常。描述这个数学上的方式是，尽管f：A => B+E和g：B => C+E，但语言将g函数“提升”到B+E => C+E中。g现在是一个可能引发异常的函数，但它将简单地传播它。

换句话说，通过以下方式定义g'：B+E => C+E

        /   g(x)   if x ∈ B
g'(x)= |
        \   x      if x ∈ E

有两个函数 f: A => B+E 和 g': B+E => C+E，你可以在数学意义上安全地组合它们。这就是编程中的 g(f(x)) 所做的事情，但首先必须将 g 提升到 g'。

想一想非确定性。如果你有一个非确定性函数 A -> B，那么你可以用数学方式描述它，说这是一个函数 A => Set(B)，其中 Set(B) 是可能结果的集合。例如，如果 f(1) 可能给出 1、2 或 3，则在数学上 f(1) = {1,2,3}，尽管在编程时，当要求 f(1) 时，你只会得到其中一个数字。现在，你可以通过编写 g(f(x)) 来组合非确定性函数 A->B 和 B->C。结果将是类型为 C 的非确定性。在数学上，组合函数 A => Set(B) 和 B => Set(C) 将给出 A => Set(C)。虽然 g 只取一个值 B，但你必须将其提升为非确定性值 g': Set(B) => Set(C)。例如，g'({1,2}) 是集合 g(1) 和 g(2) 的并集。因此，g(f(x)) 意味着你运行 f，获取所有可能结果的集合，并在每个结果上运行 g。有两层非确定性，但它们被“展平”成一层。

全局状态也是如此。如果将每个全局变量作为函数的参数和结果，那么你可以认为没有全局变量，每个函数都带有所有全局状态，并且语言在组合时必须交出状态。读取和可能写入状态 S 的函数 A -> B 是一个函数 (A,S) => (B,S)，也可以写成 A => (S => (B,S))。正式地写这个更复杂，但是它是相同的模式。

输入/输出也是如此，我在另一个SO答案中描述了这一点。

允许组合“具有效果”的函数的“魔法”是：

一种使类型具有效应的方法。例如，将B转换为B+E或Set(B)。我将类型X的具有效应版本表示为F(X)。
一种提升函数B -> F(C)为F(B) -> F(C)的方法。它允许组合函数A -> F(B)和B -> F(C)。
关键字return必须将普通值A转换为A+E，或单例Set(A)。因此，它的类型必须是X -> F(X)。

由这三个部分组成的结构称为单子。单子允许描述那些副作用。单子可能还具有一些特定的函数，例如异常单子具有throw，非确定性单子具有fork，状态单子具有get/put，IO单子具有read/write等。

道理就是：如果你把像随机、异常、非确定性、输入/输出之类的特殊效应看作是函数结果的一部分，那么每个函数都是参照透明的，而命令式编程中的函数实际上是数学函数，但其结果类型非常奇怪，也描述了特殊效应。这是纯函数语言如Haskell所采取的方法。

- sdcvvc

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在数学中，函数不会抛出异常。 :)

在计算机科学中，函数是一段代码，它接受输入，执行某些操作，并可能返回输出，但在此之间它可以执行许多其他操作。它可以获取网页、发送电子邮件、播放视频等等。

在数学中，函数是非常具体且独特的东西。函数通常被描述为一个“机器”，它接受输入并产生输出。虽然计算机科学函数确实接受输入并产生输出，但它们不必像数学所要求的那样具有“相同的输入始终产生相同的输出”的精确性（例如，bool IsMyApplicationRunningInFullScreen() 在没有任何输入的情况下返回各种值）。

- user334911

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数学函数是声明性的，即它们总是具有“是什么”的描述，而计算机科学中的函数是命令式的，即它们具有“如何”描述。

参考：《计算机程序的构造和解释》。

- Pankaj

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可以查看英文原文，
原文链接

- Marco · Accepted Answer

在函数式编程中，有引用透明性的概念，这意味着您可以将函数替换为其值而不会改变程序。在数学中，这也是正确的，但在命令式语言中，这并非总是如此。

数学函数的定义是：将来自一个集合（A）的元素映射到另一个集合（B）的关系，将第一个集合的每个元素与另一个集合中的一个元素对应。在 C（以及其他编程语言）中，这也是真实的，您有输入集和输出集（几乎总是只有一个）。

主要的区别在于，如果您在数学中调用 f(x)，则将始终获得相同的答案，但如果您在 C 中调用 f'(x)，则答案可能不相同 - 相同的参数不总是返回相同的输出。非函数式语言中的函数可能不仅取决于您提供给它们的参数，还取决于程序中的其他事物（封闭作用域、全局变量、内置变量、状态（如果使用面向对象）。

在数学和C函数之间的另一个区别是，在数学中，你不能创建一个从非空集合到空集合的函数（在C中，这将是：您不需要始终返回带有函数的内容）。此外，并非所有的函数都是可计算的（我不知道在数学中是否有类似的东西..）。您没有针对无限集合的函数（您具有有限的内存，因此可能输入参数的可能集合必须是有限的），但在数学中，您可以为无限集合（如f: N -> N）以及不可数的集合（如f: R -> R）定义函数（在C中，您具有浮点数，但它们仅表示实数的一个缩小集合，该集合是有限的）。 总结一下：

在C中，您并不总是具有引用透明性。您的函数可能不始终对相同的输入参数给出相同的输出。您可以拥有定义为无限输入集的数学函数，但在C函数中，您的输入是有限的。在C函数中，您可以有不返回任何内容的函数，但在数学中，您不能有这样的函数（如果您有一个非空输入集的函数，则必须将每个元素映射到另一个集合中的元素）。