理解随机数生成器的泊松分布

Question

我正在使用C++11中可用的随机数生成器。目前，我正在使用均匀分布，这应该使我在指定的范围A和B内获得任何数字的概率相等。

然而，我对生成泊松分布感到困惑。虽然我了解如何确定泊松概率，但我不明白如何基于泊松分布“分布”随机一系列数字。

例如，C++11中泊松分布的构造函数需要一个参数--λ，它是分布的平均值。

std::tr1::poisson_distribution<double> poisson(7.0);
std::cout << poisson(eng) << std::endl;

在泊松分布概率问题中，这个值等于在给定时间间隔内预期的成功/事件发生次数。然而，在这种情况下，我不明白它代表什么意思。在随机数场景中，“成功”/“事件发生”是什么意思？

我感激任何能帮助我理解这一点的协助或参考资料。

- BSchlinker

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这里的问题可能部分在于我并不完全理解泊松分布的目的。我的统计/概率教材讨论了确定泊松概率，但没有提供有关在泊松分布内生成数字的任何信息。目前我没有实际应用...我只是很好奇这是如何工作的。 - BSchlinker

一个示例实现可以计算每个值出现的概率，然后根据这些值计算范围，将均匀分布转换为泊松分布。例如，对于λ == 2，我们有13%的机会得到0，27%的机会得到1，27%的机会得到2... 然后我们生成一个好老的0.0到1.0之间的均匀随机数。如果这个数字小于等于0.13，则返回0。如果它小于等于0.40，则返回1。如果它小于等于0.67，则返回2等等... - oddstar

Answer 1

泊松分布的概率是特定值出现的机会。想象一下，你想计算每天有多少辆汽车经过某个点。这个值有时会更多，但有时会更少。但是当在一段时间内跟踪此值时，将出现平均值，并且在其附近的值更经常发生，而偏离平均值（每天0辆车或十倍数量）的值则不太可能出现。λ就是那个出现的平均值。

将此反映到随机数生成器中，算法将返回在随机选择的某一天经过的汽车数量（该算法是均匀选择的）。正如您可以想象的那样，平均值λ更有可能出现，而极端情况最不可能出现。

以下链接显示了泊松分布的示例，显示了您获取的离散结果以及它们发生的机会：

http://www.mathworks.com/help/toolbox/stats/brn2ivz-127.html

一个示例实现可以计算每个值出现的概率，然后基于这些值计算范围，将均匀分布转换为泊松分布。例如，对于 λ == 2，我们有13％的机会得到0，27％的机会得到1，27％的机会得到2……然后我们生成一个在0.0和1.0之间的好老的均匀随机数。如果这个数字是小于等于0.13，则返回0。如果它是小于等于0.40，则返回1。如果它是小于等于0.67，则返回2等等......

- oddstar

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好的--这与我预期的相似。然而，是什么决定了输出数字的“范围”？例如，如果平均值为75，我们可以有两个数字，比如50和150，或74和76。这两者的平均值都是75，但50到150之间的范围显着更大。此外，是什么决定了需要多少样本才能开始出现平均值？ - BSchlinker

50和150的出现概率比74和76低得多。虽然它们的范围平均值为75，但您应该单独查看数字及其与平均值的关系。也就是说，在实验中它们出现的可能性有多高？50辆车在一天内通过的概率有多高，或者150辆车通过的概率与74或76辆车通过的概率相比有多高。不要将平均值与平均数混淆。平均值是所有结果“中间”的数字，而不是所有输出的平均值。 - oddstar

关于需要多少样本才能出现平均值，这取决于平均值，因为这是一个离散分布。例如，如果您的平均值为2，则会更快地发生（27％的机率随机数返回2），而当您的平均值为1050时（1.2％的机率随机数返回1050）则会慢得多。对于λ为75，75出现的概率约为4％。 - oddstar

感谢 oddstar 提供的所有帮助——您在评论中提供的“示例实现”确实为我澄清了一切。我在脑海中缺少这个链接——尽管也许对我来说应该很明显。 - BSchlinker

我本应该从一开始就明白这是最清晰的，但无论如何...很高兴它让你看到了光明 ;) - oddstar