在正二十面体或其展开表面上找到一个向量的投影

Question

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考虑一个以坐标原点为中心的球体，内切一个二十面体，使得最远的两个顶点位于Z坐标轴上，并且从任何一个该顶点出发的边都在XZ平面上。

考虑给定一个向量x，起始于球体中心。由该向量给出的方向，在二十面体表面穿过某一点。

是否有一种优雅的方法来找到被穿过的面（考虑到所有面都已编号），然后找到该面上的穿孔点？这个任务需要将穿孔点投影到平铺的二十面体表面。

- mbaitoff

你能告诉我们一下你的坐标系吗？这可能会节省一些时间。 - Chris B. Behrens

它是笛卡尔坐标系的，是3D的。如果方便的话，我们可以自由地将其转换为解决方案中的任何其他内容。 - mbaitoff

2个回答

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好的，这不是我的专业领域，但是没有其他人回答，所以我会试着回答一下。你可以将一个二十面体表示为12个顶点 - 10个赤道顶点，加上顶部和底部（它们本质上与赤道无关，这只是一种为我们的坐标系分类的方式）。

这些顶点又可以表示为线段 - 一端是原点，另一端是顶点。在此基础上，您可以推导出相对于赤道的高度。如果您知道向量的高度（再次强调，相对于赤道），则可以确定向量与二十面体的哪三个部分相交 - 北部、南部或赤道集合。

从您的向量中，您还可以确定方位角。如果您有来自顶点向量的相应派生方位角和高度，则可以进行一组两个面（因此四个顶点）的简单计算。计算给定向量与每个顶点线段之间的角度差将告诉您它位于哪个面 - 较小的两个方位角之和的面就是那个面。

这就是我卡住的地方...我看不到确定与面相交点的简单方法。希望至少对第一部分有所帮助。

- Chris B. Behrens

是的，纬度上的“集合”概念也在我的脑海中浮现。然而，它只有在赤道“带”映射到球体上的圆圈，而不是一组锯齿状弧线时才有效。 - mbaitoff

不幸的是，纬度方法行不通 - 请参见http://en.wikipedia.org/wiki/File:Uniform_tiling_532-t2.png - 赤道弧不形成恒定纬度线。 - mbaitoff

嗯...看起来我把一个二十面体近似为一对极锥，带有一个赤道环面...接近了，但还差一点。 - Chris B. Behrens

@Chris B. Behrens：我认为我正在缓慢地接近解决方案。它涉及到使用二十面体对称的六个自然轴和相应的点积的二分法（或多分法）。 - mbaitoff

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请在所有的东西都准备好后再发布你的答案……我会很感兴趣看到它。 - Chris B. Behrens

@Chris B. Behrens：看起来phkahler在下面提供了解决方案。看起来非常好。 - mbaitoff

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可以查看英文原文，
原文链接

- phkahler · Accepted Answer

这个解决方案是针对你的应用程序而设计的，其中向量从原点发出，二十面体位于原点中心。

使用二十面体的12个顶点定义20个三角形。为了使每个三角形在从二十面体外部查看时呈逆时针顺序排序，请按顺序列出3个顶点。因此，对于每个三角形，您将得到一个由3个顶点组成的列表。对于每个三角形，构建一个3x3矩阵，其中列是该三角形的顶点：

     [ x1 x2 x3 ]
  T = [ y1 y2 y3 ]
     [ z1 z2 z3 ]

您需要该矩阵的逆矩阵（请搜索SO或谷歌以获取所选语言的快速3x3逆）。现在，对于每个向量，您需要将其乘以所有20个矩阵。因此，对于每个三角形，计算：

B = V*T（inverse）

如果B的所有3个元素都为正数（负数？），则为相交的三角形。

接下来，规范化B-将其除以其长度，使其具有单位长度。这将使B成为该三角形上交点的重心坐标。您还可以通过将交点的重心坐标乘以原始点矩阵来计算实际交点I：

I = B*T

这也适用于查找展开三角形上交点的2D坐标。因此，请使用2x3的2D坐标矩阵，而不是T。

最后一个优化。如果将每个三角形的3个顶点相加，则会得到该三角形的法向量。如果计算矢量与每个法向量的点积，则具有最大点积的三角形将被相交。此事实特定于以原点为中心且所讨论的射线从原点发出的正多面体。这比执行整个矩阵乘法更快，以确定哪个被命中。您仍需要进行1次矩阵乘法以查找重心坐标。

您还可以搜索光线三角形相交并阅读重心坐标，但这些解决方案将比此特定问题要求的更为一般化。