FFT大量细节围绕特定频率。

Question

FFT大量细节围绕特定频率。

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我有一个任意信号，需要知道该信号的频谱，我通过FFT来实现。问题是，我需要在一个特定的频率周围获得大量的分辨率。但是如果我增加窗口宽度或者提高采样率，会导致处理速度变慢，并且在其他地方也会出现很多细节。我只想在一个点上获得很多细节，而其他地方尽可能少。

我尝试使用Goertzel滤波器仅在需要的区域进行滤波，然后在其他地方进行FFT，但这并没有给我更多的分辨率，这可能是可以预料的。

你有什么好的想法吗？目前我唯一的想法是在我想要的值周围进行扫描和内积运算。

谢谢。

- Jean-Luc

FFT 基本上是用基底在整个频率范围内进行卷积，也许你可以通过使用只有一个特定频率的基底来简化此过程？ - michaeltang

是的，那是我的目前想法。我以某种方式在我想要的频率周围扫描基础。 - Jean-Luc

1个回答

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可以查看英文原文，
原文链接

- Bas Swinckels · Accepted Answer

增加采样率不会提高光谱分辨率，只会提供更多高频信息，而您并不感兴趣。唯一提高光谱分辨率的方法是增加窗口长度。有一种通过零填充人为增加窗口长度的方法，但这只能给您带来“虚假分辨率”，它只会在常规点之间产生平滑曲线。因此，唯一的方法是在更长的时间内测量数据，没有免费的午餐。

对于您所描述的问题，减少FFT计算时间的标准方法是使用解调（或混频，不确定官方名称是什么）。将数据与接近您感兴趣的频率的正弦波相乘（可以是确切的频率，但这并非必要），然后抽取数据（低通滤波器的截止频率略低于下采样采样率的奈奎斯特频率，然后进行下采样）。这样，您会得到较少的点，因此您的FFT速度会更快。得到的光谱将类似于原始光谱，但仅仅是由解调频率移位。因此，在制作图表时，只需将f_demod添加到x轴即可。

需要注意的一件事是，如果您用实数正弦相乘，则下采样的光谱实际上将是两个镜像光谱的总和，因为实数正弦由正负频率组成。有两种解决方法：

1. 同时通过正弦和余弦乘以相同频率进行解调，这样您就可以得到2个光谱，然后取和或差即可获得您的光谱。

2. 通过乘以形式为exp（2*pi*i*f_demod*t）的复杂正弦波进行解调。现在，您FFT的输入将是复数，因此您必须计算双面光谱。但这正是您想要的，您将获得低于和高于f_demod的频率。

我更喜欢第二种解决方案。以下是一个快速示例：

from __future__ import division
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.mlab import psd
from scipy.signal import decimate

f_line = 123.456
f_demod = 122

f_sample = 1000
t_total = 100
t_win = 10
ratio = 10

t = np.arange(0, t_total, 1 / f_sample) 
x = np.sin(2*np.pi*f_line * t) + np.random.randn(len(t)) # sine plus white noise
lo = 2**.5 * np.exp(-2j*np.pi*f_demod * t) # local oscillator
y = decimate(x * lo, ratio) # demodulate and decimate to 100 Hz
z = decimate(y, ratio) # decimate further to 10 Hz

nfft = int(round(f_sample * t_win))
X, fx = psd(x, NFFT = nfft, noverlap = nfft/2, Fs = f_sample)

nfft = int(round(f_sample * t_win / ratio))
Y, fy = psd(y, NFFT = nfft, noverlap = nfft/2, Fs = f_sample / ratio)

nfft = int(round(f_sample * t_win / ratio**2))
Z, fz = psd(z, NFFT = nfft, noverlap = nfft/2, Fs = f_sample / ratio**2)

plt.semilogy(fx, X, fy + f_demod, Y, fz + f_demod, Z)
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
plt.ylabel('PSD (V^2/Hz)')
plt.legend(('Full bandwidth FFT', '100 Hz FFT', '10 Hz FFT'))
plt.show()

结果：

enter image description here

如果你放大看，你会注意到在抽取滤波器的通带内，结果几乎相同。需要注意的一件事是，在decimate中使用的低通滤波器如果使用远大于10的抽取比率将变得数值不稳定。解决这个问题的方法是对于大比率进行多次抽取，例如对于1000的抽取比率，你可以通过3次10倍抽取来实现。