什么数学方法适用于插值2d到2d函数？

Question

那么我们有一个矩阵，如下所示：

12,32
24,12
...

长度为2xN，另一个

44,32
44,19
...

给定长度为2xN的两个矩阵，其中有一个函数f(x, y)返回z[1]和z[2]。我们所给出的这两个矩阵代表了已知的x、y和z[1]、z[2]值对。在这种情况下，需要使用插值公式来帮助解决问题。

- Rella

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你是否正在寻找类似于二元函数的多项式插值？ - amit

但是那个函数必须返回2个变量... - Rella

你可以尝试使用复数来完成它。 - starblue

Answer 1

如果您解决了一个返回值的问题，您可以通过插值找到两个函数f_1(x,y)和f_2(x,y)，并将它们组合成函数f(x, y) = [f_1(x,y), f_2(x,y)]。只需选择适合您问题的任何方法来解决插值函数即可。

对于实际的二维插值问题，有很多方法可以处理。如果您需要简单的方法，可以选择线性插值。如果您可以接受分段函数，可以选择贝塞尔曲线或样条。或者，如果数据是均匀的，您可以使用简单的多项式插值（在二维情况下并不完全简单，但足够容易）。

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编辑：更多信息和一些链接。

可以使用双线性插值（维基百科）进行分段解决方案。

对于多项式插值，如果您的数据在网格上，可以使用以下算法（我找不到参考资料，这是我记忆中的）。

如果数据点在k乘l网格上，请将多项式重写如下：

f(x,y) = cx_1(x)*y^(k-1) + cx_2(x)*y^(k-2) + ... + cx_k(x)

在这里，每个系数cx_i(x)也是一个次数为l的多项式。第一步是通过插值网格的每一行或每一列来找到k个次数为l的多项式。完成后，您将有l个系数集（或者说l个多项式）作为cx_i(x)多项式的插值点，如cx_i(x0)，cx_i(x1)，...，cx_i(xl)（总共给出了l*k个点）。现在，您可以使用上述常数作为插值点来确定这些多项式，这将给出您的结果f(x,y)。

贝塞尔曲线或样条曲线也使用相同的方法。唯一的区别是您使用控制点而不是多项式系数。首先获得一组将生成数据点的样条曲线，然后插值这些中间曲线的控制点以获取曲面曲线的控制点。

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让我举一个例子来阐明上述算法。假设有以下数据点：

0,0 => 1
0,1 => 2
1,0 => 3
1,1 => 4

我们首先拟合两个多项式：一个用于数据点 (0,0) 和 (0,1)，另一个用于 (1,0) 和 (1,1)。

f_0(x) = x + 1
f_1(x) = x + 3

现在，我们反向插值以确定系数。当我们垂直读取这些多项式系数时，我们需要两个多项式。一个在0和1处都评估为1；另一个在0处评估为1，在1处评估为3：

cy_1(y) = 1
cy_2(y) = 2*y + 1

如果将它们组合成f(x,y)，我们得到：

f(x,y) = cy_1(y)*x + cy_2(y)
       = 1*x + (2*y + 1)*1
       = x + 2*y + 1

- vhallac

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你能解释一下（或提供相关说明），你所提到的方法如何适用于二维信息吗？ - amit