在任何频率计算傅里叶变换

Question

在任何频率计算傅里叶变换

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我知道，如果我们有一些代表某种波的数据，例如图像线值，我们可以使用傅里叶变换来获取该波的频率函数。但是我们在点x=0...N-1处有N个值，而且我们只在输出处得到了N个频率。因此，我想在范围[0，N-1]中的任何位置分析该波，例如在u = 1.5点。我该怎么做？

- maximus

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你应该在mathoverflow.com上提问。 - Michael Bray

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在mathoverflow的常见问题解答中很清楚地指出，这不是该论坛的好问题。似乎程序员想问的任何数学问题都没有合适的地方。 - user66363

那么你的意思是我在那里得到相同的答案吗？ - maximus

只要我们不涉及实现和快速算法，这与编程实际上并没有关系。但它在信号分析中很有用，这就是我为什么问这个问题的原因，但我也在思考是否足够好以在这里提出这个问题。 - maximus

这个问题现在已经在MathOverflow上提出了：http://mathoverflow.net/questions/11537/calculating-fourier-transform-at-any-frequency，似乎吸引了更好的回答。 - Jason Orendorff

3个回答

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你需要插值这些中间点的数据。

- janneb

这是我一开始想的。但是还有其他解决这个问题的方法吗？ - maximus

从根本上讲，不需要。当然，您可以改变主意并决定不在中间点分析数据，在这种情况下，您就不需要插值。 - janneb

你必须进行插值 - 但结果只是一个“有根据的猜测”。为了在频域中获得更好的分辨率，你还需要在时间域中获取更多的样本。 - peterchen

@peterchen：当然可以。不用说，插值不能神奇地创造以前不存在的数据。 - janneb

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距离我上次做这些已经超过10年了，但我想Matlab有一些傅里叶变换的方法可以让你做你想要的事情。至少在我们的线性信号和DSP课程中就是这样使用的。

- taylonr

如果它们已知，我希望在C语言中实现它们。 - maximus

你是想为了自己的利益来实现它们，还是因为你需要使用它们？http://www.fftw.org/提供了一个用于C语言中傅里叶变换的库。 - taylonr

我需要它，不是为了自己的利益。谢谢！ - maximus

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可以查看英文原文，
原文链接

- comingstorm · Accepted Answer

从一组样本中计算任何频率的傅里叶变换值其实非常容易：

F(w)= sum[over all sample indices k] ( f(t_k) e^(i w t_k) )

从代码层面来说，你可以这样做：

float Fourier(float omega) {
  Complex a(0.0); // think "a is for accumulator"
  for(int k=0; k<value.size(); ++k) {
    float time= t_start + k*dt;
    float theta= omega * time;  // this is (w t_k) from above
    a+= value[k] * Complex(cos(theta), sin(theta));
  }
  return a;
} // note, I have explicitly written out e^(i theta) = cos(theta) + i sin(theta)

如果您有不规则的采样时间，可以使用一个时间[]向量/数组和您的value[]向量/数组，而不是从索引计算时间。(但是，要小心，因为不规则间隔的样本并不一定意味着您认为的那样！如果这个评论在任何方面都很神秘，请坚持使用常规样本...)唯一的问题是，如果您想基于常规样本生成N个等间隔频率，用上述方法将需要O(N^2)的时间。快速傅里叶变换是一种能够以O(N log N)的时间进行此操作的算法。