如何将一个用于齐次坐标的二维变换矩阵转换为在z=0平面内的三维变换矩阵？

Question

我有一个用于2D齐次坐标的3x3变换矩阵：

a b c
d e f
g h i

我希望将这个应用于OpenGL（使用glMultMatrix），但OpenGL需要针对三维齐次坐标的4x4矩阵。我希望通过我的4x4矩阵转换后，所有坐标都以x和y与3x3矩阵相同，并且z=0。

我试图解决这个问题。对于向量x，y，1，我会得到转换后的向量ax + by + c，dx + ey + f，gx + hy + i，因此对于向量x，y，0，1，我想要得到转换后的向量ax + by + c，dx + ey + f，0，？。据我所知，可以完成这个任务的一个矩阵是：

a b 0 c
d e 0 f
0 0 1 0
0 0 0 1

这个正确吗？它有效吗？我认为这不是唯一的矩阵可以给出我想要的结果，但我不太明白第三行和第四行（以及第四列）应该放什么或不应该放什么。

- Vegard

Answer 1

如果您希望z坐标为0，则需要传递一个零行。同时，在最后一行中包含透视部分：

a b 0 c
d e 0 f
0 0 0 0
g h 0 i

- Nico Schertler

---

啊，谢谢！如果我要转换的向量已经有 z=0，那么我可以将第三行保持为 0 0 1 0，以使得 z in 和 z out 相同，对吗？ - Vegard

为什么不保留第三行 [0 0 1 0] ，让 z 保持不变？这样做就是保持单位矩阵的状态。第三行为零向量会导致破坏性的投影变换。我理解即使一个点的 z ≠ 0，它也会被变成 0，而其他的则会保持不变。但除了这个原因，你还有别的想法吗？只是好奇。 - legends2k

@legends2k 不，实际上只是因为 OP 希望所有的 z 分量都为 0（就我所理解的）。 - Nico Schertler