确定变换矩阵。

Question

作为我的上一个问题的跟进，该问题与确定相机参数有关，我已经制定了一个新问题。

我有同一矩形的两张图片：

第一张是没有任何变换的图像，显示了矩形的真实形状。

第二张图像显示了经过一些3D变换（XYZ旋转，缩放，XY平移）后的矩形。这使得矩形看起来像梯形。

我希望以下图片描述了我的问题： alt text http://wilco.menge.nl/application.data/cms/upload/transformation%20matrix.png 如何确定是什么变换（更具体地说：什么变换矩阵）导致了这种变换？

我知道两个图像中角落的像素位置，因此我也知道角落之间的距离。

- dwergkees

Answer 1

我有点困惑，这是一个2D还是3D的问题？

据我理解，您在三维空间中嵌入了一个平面矩形，并且您正在查看它的两个2D“图片” - 一个原始版本和一个基于变换后的版本。这是正确的吗？

如果是这样的话，那么就没有足够的信息来解决这个问题。例如，假设这两张图片看起来完全相同。这可能是因为平移是恒等变换，也可能是因为平移使矩形离相机远了一倍并将其大小加倍（从而使其看起来完全相同）。

- Alex319

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这是一个三维问题。第一张图片是一个1:1比例矩形的参考图片。第二张图片可以看作是相机拍摄的矩形图片。我理解您的观点，即对于特定情况有更多的解决方案（更多的转换矩阵）。如果是这种情况，我很乐意选择其中任何一个。（在您描述的情况下，我会选择恒等矩阵或任何给出相同结果的矩阵） - dwergkees

Answer 2

这是一个数学问题，而不是编程问题。

你需要定义一组方程（你的转换矩阵，我猜测是3个方程），然后解决它，以得到角点的4个变换。

我只用德语词汇来描述这个问题...所以上面的听起来可能有些奇怪。

- lexu

Answer 3

根据您所提供的信息，这并不容易。但我会给您一些想法来尝试解决问题。如果您有角落的三维坐标，那么将更容易。以下是基本思路：

1. 将一个角移动到原点。此后，旋转将在原点发生。
2. 确定轴的向量。通过从原点点减去相邻的角，可以得到一个本地x和y轴。
3. 使用向量确定角度。您可以使用点积和叉积来确定本地x轴和全局x轴（1,0,0）之间的角度。
4. 按步骤3中的角度进行旋转。这将为您提供一个新的x轴，它应该与全局x轴匹配，并且一个新的本地y轴。然后，您可以确定关于x轴的另一个旋转，将y轴与全局y轴对齐。

没有z坐标，您可以看到这将是困难的，但这是一般的过程。希望这可以帮助到您。

- Wandercoder

Answer 4

解决方案并不唯一，正如Alex319所指出的那样。

如果第二张图像确实是一个梯形，那么这不会太难。由于透视关系，它是一个梯形（而不是平行四边形），因此它必须是一个等腰梯形。

画出两条对角线。它们相交于矩形的中心，因此这就解决了平移问题。

将梯形旋转，直到其平行边与原始矩形的两条边平行。（哪两条？无所谓。）

通过中心画出第三条平行线。将其缩放到您选择的矩形的两侧。

现在进行平面外的旋转。测量从中心到其中一条平行边的距离，并使用正弦定理。

如果它不是梯形，只是一个四边形，那么就会更难，您需要使用对角线之间的角度来找到旋转轴。

- Beta