我想要准确地找到矩阵的最小（绝对值非零）特征值。我可以使用numpy的浮点运算来实现，但是：
- 是否有一种方法可以得到精确答案？
- 必须使用sympy吗，还是有其他方法？
2个回答
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特征值是代数数，也就是某些多项式的根。该多项式的次数将是矩阵的维度。对于多项式的次数最高为4的情况，你原则上可以将这些数字写成嵌套根的形式，但超过这个范围，通常无法精确表示特征值。即使在可能的情况下，您肯定也不想看到确切的值，在这里有一个看似无害的小矩阵的示例：
- pentadecagon
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从您的帖子中并不清楚矩阵是否为Hermitian。我不知道一般情况下的方法。
但是！如果矩阵是Hermitian（对称正定），则可以避免计算所有特征值，如果您只需要最小的特征值（它将是正数）。您可以使用逆迭代。http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_iteration 您可以从mu = 0开始使用该算法；然后使用Rayleigh商http://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh_quotient_iteration，这通常会给您带来非常快的收敛速度。该方法涉及解线性方程组（或者等价地，计算逆矩阵），但是如果矩阵再次是Hermitian，则可以为其生成Cholesky分解，然后使用所得到的三角形矩阵来解决这些系统。
在某些情况下，该方法会收敛到不正确的特征值（例如，接近最小值的特征值）。
另外，一个有趣的观察是矩阵A的最大特征值等于该矩阵的范数（元素平方和的平方根）。A的最小特征值等于1除以A的逆矩阵的范数。因此，如果您的矩阵不是非常大且其逆存在，则可以承担反转它，然后计算1 / norm(inv(A))。这个值将是A的最小特征值。
但是！如果矩阵是Hermitian（对称正定），则可以避免计算所有特征值，如果您只需要最小的特征值（它将是正数）。您可以使用逆迭代。http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_iteration 您可以从mu = 0开始使用该算法；然后使用Rayleigh商http://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh_quotient_iteration，这通常会给您带来非常快的收敛速度。该方法涉及解线性方程组（或者等价地，计算逆矩阵），但是如果矩阵再次是Hermitian，则可以为其生成Cholesky分解，然后使用所得到的三角形矩阵来解决这些系统。
在某些情况下，该方法会收敛到不正确的特征值（例如，接近最小值的特征值）。
另外，一个有趣的观察是矩阵A的最大特征值等于该矩阵的范数（元素平方和的平方根）。A的最小特征值等于1除以A的逆矩阵的范数。因此，如果您的矩阵不是非常大且其逆存在，则可以承担反转它，然后计算1 / norm(inv(A))。这个值将是A的最小特征值。
- Alexey Chernyavskiy
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我不是数值分析师，但似乎反迭代法给出的是特征值的数值近似，而不是 OP 寻找的精确特征值。我认为最后一段不正确：[[1 0] [0 2]] 的范数为 √5。也许范数限制了特征值的取值范围？ - Teepeemm
是的，你说得对，它会给出一个近似值，可能不完全符合OP的要求。Matlab为您的矩阵给出了norm = 2。也许这是因为它计算了L2范数。您提到了Frobenius范数，它是sqrt（5）。当我说最大特征值等于“矩阵元素平方和的平方根”时，我是错误的。实际上有不同的范数：
http://mathworld.wolfram.com/MatrixNorm.html
http://mathworld.wolfram.com/FrobeniusNorm.html感谢指出这种歧义。 - Alexey Chernyavskiy
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