如何计算最小的非零特征值

Question

给定一个半正定矩阵M，我想找到它最小的非零特征值。在Python中，这段代码看起来很有吸引力：

import numpy as np
(w,v) = np.linalg.eigh(M)
minw = np.amin(w)
if (np.isclose(minw,0) and minw > 0):
    print M, minw

这是一个小的输入矩阵示例。

[ 6  2 -4 -2]
[ 2  6  0 -6]
[-4  0  6  0]
[-2 -6  0  6]

很不幸，如果您尝试此操作，您将得到8.90238403828e-16。我不知道如何判断非常小的数字是否应该为零。

您如何找到矩阵的最小非零特征值（并确信它确实是非零的）？

- Simd

---

@tschm 对于一个半正定矩阵，不存在负特征值。 - Simd

啊，没有读到半正定。啊，那时候还没有它 :-) - tschm

什么是np？（我猜测是numpy，但我不想猜测。） - GreenMatt

你可以通过移动矩阵来避免一些问题，例如添加单位矩阵的倍数并使用反幂迭代计算n个最小特征值。在某些时候，你需要一个类似于零点的阈值。有时被称为正则化参数... - tschm

有没有适用于Python的任意精度线性代数库？也许可以考虑使用http://mpmath.org/？ - Simd

Answer 1

首先，您可能希望检查矩阵是否可逆。一种方法是使用numpy.linalg.det计算行列式。如果不可逆，您可以将此矩阵投影到正交于核的空间中。投影后的矩阵现在将是可逆的，并且具有最小幅度特征值为原始矩阵中最小（按幅度）的非零特征值。

- Juan Carlos Ramirez

Answer 2

这很可能是函数中的浮点问题。解决方案将取决于问题的严重程度。您可以尝试循环结果并使用函数（例如numpy）查找最小值：

    np.isclose(a,b)

使用公差值来比较两个数的相似度，这并不是一种完美的解决方案，但通常被认为是一种安全的比较方法。至于“eigh”代码本身，可能存在收敛问题，但我无法确定。

- armatita

---

这是否安全取决于最小非零特征值的大小。 - Simd

确实如此。只有你可以确定公差应该是多少。这是一个工程问题，而不是数学问题。 - armatita