如何生成一个随机方向的单位向量，并保证该方向具有各向同性分布？

Question

我需要创建一个方法，使用随机数生成器在三维空间中生成一个随机方向的单位向量。该向量的方向分布必须是各向同性的。
以下是我正在尝试生成随机单位向量的方式：
v = randn(1,3);
v = v./sqrt(v*v');
但我不知道如何实现各向同性部分。有什么想法吗？

- Aina

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可能是单位球上均匀随机（蒙特卡罗）分布的重复问题。 - finnw

这里也有一些不错的答案：链接1 和 链接2。 - finnw

@finnw：这个问题是重复的，但回答不一样。也许我们可以合并这些问题？ - Jonas

Answer 1

你做得很好。随机的正态坐标分布给你一个方向上的均匀分布。

要在单位球面上生成10000个均匀分布的点，你可以运行：

v = randn(10000,3);
v = bsxfun(@rdivide,v,sqrt(sum(v.^2,2)));

plot3(v(:,1),v(:,2),v(:,3),'.')
axis equal

- Jonas

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哇，谢谢@Jonas！我不知道正态分布的那个知识点！ - Aina

@Aina：2D正态分布具有旋转对称性。因此，3D正态分布具有球对称性。 - Jonas

@Andrey：你是指正态分布具有旋转对称性吗？三维正态分布与exp(- (x^2+y^2+z^2))成比例。如果你将其转换为球坐标系，那么该表达式就变成了exp(-(r^2))。换句话说，密度仅取决于半径而不是角度，这意味着点在所有角度上均匀分布。 - Jonas

@Jonas 就我所看到的，这是一种很好的方法。你能否为 R 制作一个版本？谢谢。 - JASC

@JASC：很遗憾，我对R语言只是略知一二。不过，这个算法的主要步骤是从三维正态分布中随机生成若干个点（即坐标列表，其中x、y和z分别从独立的均值为0、标准差为1的正态分布中抽取），然后将每个坐标三元组除以其范数，使得它们的x^2+y^2+z^2等于1。 - Jonas