考虑到每一个点的位置和方向，如何连接这些点？

Question

考虑到每一个点的位置和方向，如何连接这些点？

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在附图中，我们可以看到一个点的运动的实际值（绿色）和估计值（红色）。圆圈旁的每个数字（=模式）对应一个时间。现在所有算法都已开发完毕，我想通过连接所有模式来提高可视化质量，考虑位置和方向（由条纹方向定义）。我试图找到一种方法来做到这一点，但没有找到。有人有想法吗？

补充说明：

我希望按照每个模式旁边的数字的顺序连接所有模式
我希望我的曲线经过每个模式的中心
我希望每个模式上的曲线陡峭程度与绘制的条形相同。

关于信息：我拥有坐标(x，y)和角度，如果需要可以将其转换为导数。

总之，我正在寻找一种连接点并适合每个点所需陡度的绘制曲线的方法。

- Cyril Schmitt

你需要更详细地解释“连接所有模式在一起”的意思，否则，没有人能够理解你想做什么。另外，实现这个目标的确切问题是什么？你尝试过什么，为什么不起作用？如果你不说明问题所在，这个问题很可能太广泛而无法回答。 - ImportanceOfBeingErnest

谢谢你的留言！我已经编辑过了。希望这能帮助理解我想要连接模式的方式。我的主要问题是找不到任何允许我做我想做的事情的函数。我期望有人曾经尝试过做同样的事情，可以给我一些提示，告诉我如何完成这个任务。 - Cyril Schmitt

我认为你不会找到一个预定义的函数来完成你想要的操作，因为问题是二维的（实际上你有二维梯度，而不是一维导数），因此连接这些点没有唯一的解。如果这是一个一维问题，像 scipy.interpolate.KroghInterpolator 这样的函数可能会帮助你。然而，在这种情况下，它将失败。 - ImportanceOfBeingErnest

请问您能否提供生成该图片所使用的代码（背景不需要），以及用于产生这5个点的数据？ - Thomas Kühn

@Thomas 如果你想尝试一下，可以使用我在下面回答中提供的数据。如果有人对如何“拟合”贝塞尔曲线或采用不同的方法有想法，那肯定很有趣。 - ImportanceOfBeingErnest

1个回答

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可以查看英文原文，
原文链接

- ImportanceOfBeingErnest · Accepted Answer

总结问题：您想通过多个点插值出平滑曲线。对于2D空间中的每个点，您都有坐标以及定义该点处曲线切线的角度。

一种解决方案可能是使用三阶贝塞尔曲线。这样的曲线由4个点定义；两个端点是绘图中的连续两个点，另外两个中间点定义了曲线的方向。贝塞尔曲线经常用于图形软件中，并且也被matplotlib内部用于绘制路径。

因此，我们可以定义一条贝塞尔曲线，其两个中间点位于沿着每个点的切线给定的角度。本质上没有提示这两个中间点应该位于该切线的何处，因此我们可以选择一些任意距离从两个端点开始。这就是下面代码中所谓的r。选择一个好的参数r的值对于获得平滑曲线非常关键。

import numpy as np
from scipy.special import binom
import matplotlib.pyplot as plt

bernstein = lambda n, k, t: binom(n,k)* t**k * (1.-t)**(n-k)

def bezier(points, num=200):
    N = len(points)
    t = np.linspace(0, 1, num=num)
    curve = np.zeros((num, 2))
    for i in range(N):
        curve += np.outer(bernstein(N - 1, i, t), points[i])
    return curve

class Segment():
    def __init__(self, p1, p2, angle1, angle2, **kw):
        self.p1 = p1; self.p2 = p2
        self.angle1 = angle1; self.angle2 = angle2
        self.numpoints = kw.get("numpoints", 100)
        method = kw.get("method", "const")
        if method=="const":
            self.r = kw.get("r", 1.)
        else:
            r = kw.get("r", 0.3)
            d = np.sqrt(np.sum((self.p2-self.p1)**2))
            self.r = r*d
        self.p = np.zeros((4,2))
        self.p[0,:] = self.p1[:]
        self.p[3,:] = self.p2[:]
        self.calc_intermediate_points(self.r)

    def calc_intermediate_points(self,r):
        self.p[1,:] = self.p1 + np.array([self.r*np.cos(self.angle1),
                                    self.r*np.sin(self.angle1)])
        self.p[2,:] = self.p2 + np.array([self.r*np.cos(self.angle2+np.pi),
                                    self.r*np.sin(self.angle2+np.pi)])
        self.curve = bezier(self.p,self.numpoints)


def get_curve(points, **kw):
    segments = []
    for i in range(len(points)-1):
        seg = Segment(points[i,:2], points[i+1,:2], points[i,2],points[i+1,2],**kw)
        segments.append(seg)
    curve = np.concatenate([s.curve for s in segments])
    return segments, curve


def plot_point(ax, xy, angle, r=0.3):
    ax.plot([xy[0]],[xy[1]], marker="o", ms=9, alpha=0.5, color="indigo")
    p = xy + np.array([r*np.cos(angle),r*np.sin(angle)])
    ax.plot([xy[0],p[0]], [xy[1],p[1]], color="limegreen")


if __name__ == "__main__":        
    #                   x    y    angle        
    points =np.array([[ 6.0, 0.5, 1.5],
                      [ 5.4, 1.2, 2.2],
                      [ 5.0, 1.7, 2.6],
                      [ 2.8, 2.4, 2.1],
                      [ 1.3, 3.2, 1.6],
                      [ 1.9, 3.9,-0.2],
                      [ 4.0, 3.0, 0.2],
                      [ 5.1, 3.7, 1.4]])

    fig, ax = plt.subplots()

    for point in points:
        plot_point(ax, point[:2],point[2], r=0.1)

    s1, c1 = get_curve(points, method="const", r=0.7)
    ax.plot(c1[:,0], c1[:,1], color="crimson", zorder=0, label="const 0.7 units")

    s2, c2 = get_curve(points, method="prop", r=0.3)
    ax.plot(c2[:,0], c2[:,1], color="gold", zorder=0, label="prop 30% of distance")
    plt.legend()
    plt.show()

在上面的图表中，比较了两种情况。一种是当r保持不变时为0.7个单位，另一种是当r相对于两点之间的距离增加30%时。