一个三次贝塞尔曲线是否完全包含在其控制点的边界框内？

Question

可能是非常简单的问题（我只是想确保我是对的）。标题不是100％正确的，但以下是我需要的：

我想计算立方贝塞尔曲线的边界框（矩形）。我知道包含曲线控制点的矩形不是字面上的边界框，它很可能更大，但我想确保它不能更小，也就是说，它将始终包含曲线。

我有由多个连续的立方贝塞尔曲线定义的样条，并且我想要它的边界框，或者最接近它的东西（我不懂得用复杂的公式来计算它，但如果有一些不太复杂的编码方式，我会很感激知道）。

澄清：通过“包含曲线控制点的矩形”，我指的是像这样计算的矩形：我将控制点的最小X和最小Y坐标作为矩形的左上角，将控制点的最大X和最大Y坐标作为矩形的右下角。（Y轴从上到下）。然后我想确保曲线肯定位于此矩形内部。

希望你明白我的意思 :)

- TX_

Answer 1

根据维基百科的说法：

Bézier曲线在计算机图形学中被广泛用于建模平滑曲线。由于曲线完全包含在其控制点的凸包内，

所以是的。

- Daniel Fischer

Answer 2

是的，这是一个安全的假设（忽略任何精度问题）。

度数为n的Bezier曲线（我们称之为A）可以表示为两个度数为（n-1）的Bezier曲线（我们称之为B和C）的线性插值。如果B和C在边界框内，那么A也显然在其中。但你可以递归地应用这一方法；B和C都可以表示为两个度数为（n-2）的曲线的线性插值，依此类推。基本情况是当你递归到度数为1的曲线时，它们只是控制点本身的线性插值。

- Oliver Charlesworth

Answer 3

简短回答：是的。

对于具有控制点B0、B1、B2和B3的三次贝塞尔曲线，沿着曲线B(t)的每个点都可以通过以下方式计算：

B0*(1-t)^3 + B1*3*(1-t)^2*t + B2*3*(1-t)*t^2 + B3*t^3

重要的是，如果我们看一下系数，它们都大于或等于0，并且它们的总和为

(1-t)^3 + 3*(1-t)^2*t + 3*(1-t)*t^2 + t^3 = 1

在数学中，这被称为凸组合。Bézier曲线上的每个点都是控制点的凸组合。所有凸组合的集合称为凸包，因此曲线由控制点的凸包限定。凸包不包含任何高于最高控制点、左边最左控制点等的内容。找到控制点的最小和最大x和y值就足以找到包含Bézier样条的矩形。

顺便说一下，关于点是控制点的凸组合这一点对于所有Bézier曲线都是正确的，但是对于这个问题，你只需要关心三次曲线。

- Pi Fisher