已知中点的三次贝塞尔曲线计算

Question

我知道：

• 控制点a和d（2D立方贝塞尔曲线的起点和终点）

• 斜率a->b，c->d和b->c（b，c是其他控制点）

• Bézier曲线的中点在哪里。

现在，根据这些信息，控制点b和c的位置公式是什么？

- Loci

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这更像是一个数学问题，而不是一个编程问题？ - user49572

似乎这是一项作业任务，无法通过谷歌找到。 - Guvante

许多编程问题不也是数学问题吗？这个问题对我来说听起来很好，无论是否是作业，我都想知道解决方案，只是出于好奇 :-) - Michael Stum

这是我的一个程序的问题，它处理矢量图形。它是更大转换的一部分，但我不想在问题中填充无关的上下文。 - Loci

天啊，现在我们不能自主进行数学探索吗？我花了很多时间在课外摆弄计算机图形。这被称为学习，而不是作业。 - Jason S

这似乎是一个过度确定的问题。贝塞尔曲线由8个自由度描述（一种指定方式= x，y起点，x，y终点，dx，dy起始向量，dx，dy结束向量）。你有9个。（3个点= 6 DOF，+ 3个斜率） - Jason S

Answer 1

我知道这个问题很久远了，但是没有正确或完整的答案提供，所以我想提出一个解决方案。需要注意的是，David的计算中存在几个错误，即使这些错误被纠正，他的解决方案也是不完整的。

首先，使用三个斜率定义向量T0、T1和T2：

T0 = ( b - a ) / u0
T1 = ( c - b ) / u1
T2 = ( d - c ) / u2

如果我们知道每对控制点之间的方向和距离，那么就不需要比例因子u0、u1和u2了。由于我们只知道斜率，所以u0、u1和u2是未知的标量量。此外，我们假设u0、u1和u2都是非零的，因为斜率已经被定义了。

我们可以以几种不同的方式重写这些方程，以便用其他控制点的表达式表示每个控制点。例如：

b = a + T0*u0
c = b + T1*u1
d = c + T2*u2

这个问题还说明了我们有三次贝塞尔曲线的“中点”。我理解为我们有曲线参数范围的中间点。我将称这个点为p：

p = ( a + 3*b + 3*c + d ) / 8

将未知数移到等式左边，重写为:

b + c = ( 8*p - a - d ) / 3

我们现在可以使用先前的表达式以各种方式替换b和c。当我们有平行向量T0，T1或T2时，就会出现歧义。有四种情况需要考虑。

情况1：T0不与T1平行

将b = a + T0*u0和c = a + T0*u0 + T1*u1代入并解出u0和u1：

2*T0*u0 + T1*u1 = ( 8*p - 7*a - d ) / 3

这是两个未知数的两个方程，因为T0和T1都是向量。将u0和u1代回b = a + T0*u0和c = a + T0*u0 + T1*u1中，以获得缺失的控制点b和c。

情况2: T1与T2不平行

将c = d - T2*u2和b = d - T2*u2 - T1*u1代入并解出u1和u2：

T1*u1 + 2*T2*u2 = ( a + 7*d - 8*p ) / 3

情况三：T0与T2不平行

将 b = a + T0*u0 和 c = d - T2*u2 代入，并解出 u0 和 u2：

T0*u0 - T2*u2 = ( 8*p - 4*a - 4*d ) / 3

情况4: T0, T1和T2都是平行的

在这种情况下，a、b、c和d都共线，并且T0、T1和T2在一个比例因子内等效。没有足够的信息来获得唯一的解决方案。一个简单的解决方案是通过设置u0 = 1来选择b：

b = a + T0
(a + T0) + c = ( 8*p - a - d ) / 3
c = ( 8*p - 4*a - d - 3*T0 ) / 3

无限数量的解决方案存在。本质上，选择b定义了 c 或选择 c 将定义 b 。

扩展到3D

问题特别询问了平面Bezier曲线，但是我认为将此问题扩展到非平面3D立方Bezier曲线时，点

p 并不是必需的。在这种情况下，我们可以简单地解决这个方程，得到、和。

T0*u0 + T1*u1 + T2*u2 = d - a

这是三个方程（向量为3D），有三个未知数（u0，u1和u2）。将其代入 b = a + T0*u0 和 c = b + T1*u1 或 c = d - T2*u2 中可得到b和c。

- Naaff

Answer 2

假设您的斜率已经归一化，那么对于某些 u、v，您会有

u * slope(a->b)+a = b, v * slope(c->d)+d = c

你知道变量a、d和q:=(a+b+c+d)/8的值（曲线的中点），因此c = 8(q-a-d-b)

将上述方程式代入最后一个方程式，即可得到：

v * slope(c->d)+d = 8(q-a-d-a-u * slope(a->b))

这是两个变量（u，v）的2个方程式（2D向量方程式）

你不需要第三个斜率。

- David Lehavi

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我曾经遇到类似的情况，但问题在于如果两条斜率平行，则无法给出解决方案。 解决方法涉及使用公式 (slope(a->b)xslope(c->d)y - slope(a->b)yslope(c->d)x) 进行除法运算，当斜率平行时该公式的值为零。 - Loci

啊，现在我明白了，你正在处理多个解决方案，所以第三个斜率可以消除歧义。警告，它可能与其余的8个量不一致。 - Jason S