使用4x4矩阵转换3D平面

Question

我有一个由多个三角形组成的形状，它具有缩放、旋转和平移，位于世界空间中的某个位置。我还有一个平面，我想要在上面投影（正交投影）这个形状。

我可以将形状中每个三角形的每个顶点乘以对象的变换矩阵，以找出其在世界坐标系中的位置，然后将此点投影到平面上。

但是我不需要绘制投影，而是希望使用形状的逆变换矩阵来转换平面，然后将所有顶点投影到（逆转换后的）平面上。因为这只需要我对平面进行一次变换，而不是对每个顶点进行变换。

我的平面有一个法线（xyz）和一个距离（d）。如何使用一个4x4变换矩阵与其相乘，并使其正常工作？

你可以创建一个由xyzd组成的vec4并进行乘法计算。或者创建一个由xyz1组成的向量，然后再怎么处理d呢？

- Thijs Koerselman

Answer 1

你需要将平面转换为另一种表示方法。其中 N 是法向量，O 是平面上的任意一点。你已经知道了法向量，即 (xyz)。平面上的一个点也很容易计算，它是法向量 N 与距离 d 的乘积。

以正常方式使用 4x4 矩阵来转换 O，这将成为你的新 O。你需要一个 Vector4 来与 4x4 矩阵相乘，将 W 分量设置为 1（x、y、z、1）。

同时，也用 4x4 矩阵来变换 N，但将 W 分量设置为 0（x、y、z、0）。将 W 分量设置为 0 意味着你的法向量不会被平移。如果你的矩阵不仅包括旋转和平移，那么这一步就不那么简单了。相反，要乘以矩阵的 逆矩阵的 转置，即 Matrix4.Transpose(Matrix4.Invert(Transform))，在这里有一个很好的解释。

现在你有了一个新的法向量 N 和一个新的位置向量 O。但我想你可能还希望将它们转换回 xyzd 的形式？没问题。和之前一样，xyz 是你的法向量 N，唯一需要计算的是 d。d 是平面沿着法向量到原点的距离，因此它只是 O 和 N 的点积。

就这样！如果你告诉我你使用的是哪种语言，我很乐意以代码形式为你编写。

编辑，伪代码如下：

平面为vector3 xyz和number d，矩阵为matrix4x4 M。

vector4 O = (xyz * d, 1)
vector4 N = (xyz, 0)
O = M * O
N = transpose(invert(M)) * N
xyz = N.xyz
d = dot(O.xyz, N.xyz)

xyz和d代表新平面

- Hannesh

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嗨Hannesh，非常感谢您的清晰解释！我同时在Lua和C ++中使用不同的库进行编程，但代码不是问题。我困扰于概念，而您刚刚让它变得非常清晰。干杯 - Thijs Koerselman

谢谢，我已经为此挣扎了几个晚上了。 - cmannett85

有人能以更易懂的方式重新编写这个答案吗？最好附带一些GLM代码。 - Jubei

如果涉及到缩放，请不要忘记在之后对您的平面进行归一化。 - Bluenuance

在计算机图形学中，如果使用列向量，则可以使用逆转置矩阵；如果使用行向量，则可以使用逆矩阵。但是从数学上讲，这通常是不正确的（请参见下面的答案）。 - Matthias

Answer 2

这个问题有点老了，但我想更正被接受的答案。
你不需要转换平面表示。
对于任何点 ，如果 ，那么它位于平面 上。
可以写成点积：
你正在寻找由你的 4x4 矩阵 转换的平面 。
出于同样的原因，必须满足 。
因此，，通过一些安排，可以得到 。
简而言之：如果 p=(a,b,c,d)，则 p' = transpose(inverse(M))*p。

- Michael M.

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谢谢，但我恐怕没有足够的知识来正确评判你的答案。我的数学技能仍然很差，而且自从这个问题发布后没涉足过相关领域。我想我唯一能做的就是接受你的答案并看看是否会有人因此责骂我...但这不是马蒂亚斯早些时候试图解释的吗？ - Thijs Koerselman

在这样做之后，规范化平面方程可能是个好主意，特别是如果矩阵包含非单位基向量（缩放）。 - neeh

Answer 3

注释:

• n 是表示法向量的 (1x3) 行向量
• n' 是根据变换矩阵 T 转换后的法向量 n
• (n|d) 是表示平面的 (1x4) 行向量（其中 n 是平面的法向量，d 是平面到原点的距离）
• (n'|d') 是根据变换矩阵 T 转换后的平面 (n|d)
• T 是一个 (4x4) （仿射）列优先的变换矩阵（即将列向量 t 进行变换的定义为 t' = T t）。

转换法向量 n:

n' = n adj(T)

转换平面（n|d）：

(n'|d') = (n|d) adj(T)

在这里，adj是矩阵的伴随矩阵，它是通过矩阵的逆和行列式定义的：

T^-1 = adj(T)/det(T)

注意:

• 伴随矩阵通常不等于变换矩阵 T 的逆矩阵。如果T包括反射，det(T) = -1，会将顺序反转！

• 数学上不需要重新规范化n'（但是可能取决于实现而需要在数值上重新归一化）因为缩放由行列式处理。感谢Adrian Leonhard的建议。

• 您可以直接变换平面，而无需首先分解和重组平面（法线和点）。

- Matthias

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@Leonhard 我将法线和平面表示为行向量，而将点和方向表示为列向量，因为我使用列主转换矩阵（请参见“符号”中的第5个点）。如果您想在任何地方都使用列向量，请只需取n' = n adj(T)两边的转置，这将导致伴随的转置或者是转置的伴随。如果您使用逆代替伴随，则需要在存在缩放分量的情况下进行重新归一化。或者您可以除以行列式，它是尺寸变化的度量。 - Matthias

@AdrianLeonhard 更详细的解释/推导请参见游戏引擎开发基础：第1卷：数学。然而，注意，在这种情况下，伴随算子是一些数学上的技巧，以获得精确和通用的单行表达式。在实践中（游戏/渲染引擎），人们将通过逆转置乘以它（甚至消除非均匀缩放，通过转置转置乘以变换矩阵本身+由于均匀缩放而进行重新归一化）。 - Matthias

此外，在使用变换/场景图时，将不会计算行列式或逆矩阵。 - Matthias

感谢澄清，但是考虑到一个2倍缩放的变换T = [2 0 0 0 | 0 2 0 0 | 0 0 2 0 | 0 0 0 1]，adj(T) = T^-1 * det(T) = [4 0 0 0 | 0 4 0 0 | 0 0 4 0 | 0 0 0 8]。对于平面X = 0：(1 0 0 0) * adj(T) = (4 0 0 0)，这仍然需要进行归一化吗？ - Adrian Leonhard

2. 如果您的法向量是通过叉积计算得出的，则会多出一个因子，即行列式（或者，您最终会得到伴随矩阵）。在这两种情况下，您都需要重新归一化，如果行列式> 0，则标量行列式将变得无关紧要。如果行列式为负（反射），则应该颠倒法线的方向。作为一个经验法则，所有源自叉积（平面、法线等）的内容都需要进行伴随矩阵的转换。

- Matthias