结构张量矩阵的特征值代表什么？

Question

众所周知，如果上述矩阵的两个特征值大于0，则可以正确地确定两个图像之间的良好特征点。

有人能够解释一下什么是两个特征值均大于0，以及为什么如果任意一个特征值近似于0，则该特征点不好吗？

- pcoder

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这个问题似乎不适合讨论，因为它涉及数学。 - Mitch Wheat

能否将这个问题移动到DSP.SE？ - Nagabhushan S N

还可以查看我在这里的回答：https://dsp.stackexchange.com/a/69350/32876 - Nagabhushan S N

Answer 1

请注意，该矩阵始终具有非负特征值。基本上，这条规则表明应该在所有方向上优先考虑快速变化，也就是说，角比边缘或平面更好。

最大的特征值对应于指向图像在点u处最显着变化方向的特征向量。

• 如果两个特征值很小，则点u处的图像变化不大。
• 如果一个特征向量很大而另一个很小，则此点可能位于图像中的边缘，但很难确定在该边缘的确切位置。
• 如果两个都很大，则该点就像一个角。

在由Rajesh Rao在华盛顿大学教授的课程中，全景拼接幻灯片演示文稿中有一份带有示例的漂亮的介绍。

在这里，E(u,v)表示两个相邻像素之间通过向量(u,v)移动后周围区域的欧几里得距离。这个距离告诉我们两个像素彼此之间的区别有多大。 编辑：图像导数矩阵在这个例子中被表示为H，可能是因为它与Harris角检测算法相关。

- Dmitri Chubarov

Answer 2

这与Thomasi-Shi的论文中的“Good features to track”一文中的Texturedness概念有关。

Textureness的想法是提供一个纹理评级，使得特征（在窗口内）能够被识别和区分。例如，线条不是好的特征，因为它们不是唯一的（参见图3.9a）。

要解决光流方程，必须能够反演J（黑塞矩阵）。在实践中，必须满足以下条件：

1. J的特征值不能相差几个数量级。
2. 黑塞矩阵的特征值超过了图像噪声水平λnoise：这意味着J的两个特征值都必须很大。

对于第一个条件，我们知道最大特征值不能任意大，因为窗口内的强度变化受到最大允许像素值的限制。 关于第二个条件，假设λ1和λ2是J的两个特征值，则可能出现以下情况（见图3.10）：

• 两个小特征值λ1和λ2：表示窗口内的强度大致保持不变（粉色区域）。图3.9-b的问题。 • 一个大特征值和一个小特征值：表示单向纹理模式（紫色或灰色区域）。图3.9-a的问题。 • λ1和λ2都很大：可以表示角落、盐和胡椒纹理或任何可靠跟踪的图案（绿色区域）。

一些参考文献： 1-ORTIZ CAYON，R.J.（2013）。 无人机在线视频稳定。 未命名空中飞行器的运动估计和补偿。 2-Shi，J.，＆Tomasi，C。（1994年6月）。 跟踪的好特征。 在计算机视觉和模式识别中，1994年。 CVPR'94.，1994 IEEE计算机协会会议论文集（第593-600页）。 IEEE。 3-Richard Szeliski。 图像对齐和拼接：教程。 Found.Trends。 计算机图形学。 Vis.，2（1）：1-104，2006年1月。

- rodrygojose