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一条曲线“平直度”的数学指标是什么？

math
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我目前正在从事一个计算机科学项目，需要评估图表。这些图表是在x-y坐标系中给出的简单线条，由CSV文件提供。曲线越平缓，对我来说就越好。现在我正在寻找衡量这些曲线“平坦度”的指标。
我的第一个想法是计算函数的一阶导数，然后计算两个点之间的平均值。如果这个值接近于0，那么这个函数就相当平坦。
这是一个好主意吗？有更好的解决方案吗？
编辑： 这里有一张图片作为示例。哪一条曲线更平坦，x1还是x2？
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“Flat” 是什么意思？线 y = 100x 被认为是平的吗？还是只有线 y = 5 被认为是平的？ - cobbal
哦，抱歉。我的意思是像y=5这样的平坦（而不是像y=100x这样）。 - Thomas Uhrig
你可以发布一份你的文件样本吗？ - Anand Sunderraman
这是一个示例图片：链接。现在问题是：x1和x2之间哪条曲线更平缓？ - Thomas Uhrig
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有很多方法可以衡量平坦度，因此您需要严格定义您想要的内容。考虑y=0.001sin(1000000x)。这个函数上下波动非常频繁，但振幅只有0.001。那么一个上升10然后立即下降10，但其余时间是水平的函数怎么样？或者像y=x这样在不同高度开始和结束的函数呢？ - JohnPS
您的图片出现了404错误，当然。 - kevinkayaks
6个回答
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您可以考虑使用标准差作为距离完全平坦线的度量。首先进行简单的线性回归，找到理想拟合的平坦线，然后计算残差的标准差。

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进行回归分析似乎是解决这个问题的好方法。根据目标，OP可以考虑进行Chebyshev（最小化最大误差）拟合，而不是最小二乘法（最小化平均误差）拟合。 - nsanders
好的，到目前为止我同意。但是为什么我需要线性回归？对我来说，完美的线条应该是类似于y=n（其中n为0,1,2...）的东西。我不能轻松地使用y=0来使每个图表具有可比性吗？ - Thomas Uhrig
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当然，如果您只想要水平的平坦线，您可以放弃线性回归，直接计算标准差。在这种情况下，您实际上是在进行斜率固定为零的线性回归（相当于计算值的平均值）。 - thiton
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统计分布的峰度被称为“峰度”。

峰度 = [[E[(mu-x)^4]]/[E[(mu-x)^2]]^2]-3

其中，mu是总体x的平均值，E[y]是y的期望值。

由于这通常与概率函数一起使用，建议您将曲线上的所有值除以其下面的面积。

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如果所有值都是正数，您可以尝试计算积分。基本上就是线下面的表面。
积分越低，越好。就像你需要的一样。
如果您也期望负值，可以在改变符号后基本上做同样的事情。
好的，如果我理解正确，您想要比较线性函数？那么像 y=4x+3 这样的函数比 y=5x+3 更平缓？那 y=4x+3 和 y=4x+4 呢？ - siddian
y=4x+3等于y=4x+4。我只对两点之间的部分线段感兴趣，而不是整个函数。 - Thomas Uhrig
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我刚刚看了你的例子。我同意@thiton的观点；计算每个数据点到回归线距离的标准差听起来不错。 - siddian
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如果变化速度对答案很重要（即许多小的Zig-Zag被认为比逐渐上升更平），自相关函数的斜率可能是有趣的。
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比较 max(abs(d))，其中 d 是曲线的（数值）导数。这将告诉您曲线相对于平坦曲线（y = CONSTANT）有多陡峭，但不会告诉您离平坦曲线有多远。
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1.首先应用线性回归找到最理想的拟合直线 2.测量残差的最小二乘。

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