自动和数学地计算曲线的“肘点”

Question

下面展示了曲线的一个例子。拐点可能是x=3或4。 如何通过自动化和数学方法来计算曲线的拐点？

- Jie

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你可以在这里提问：http://math.stackexchange.com/。但无论如何，你需要提供一些关于曲线是如何产生以及可能的形状的背景信息。 - TToni

可能是重复的问题：如何在曲线上找到最佳的权衡点。 - Jacob

这个问题有一个很好的答案。请查看我发布的可能重复的链接。 - Jacob

在曲线上找到最佳权衡点的解决方案（https://dev59.com/wHI-5IYBdhLWcg3wF0Qc）是一个不错的建议。然而，这个解决方案取决于曲线上的点。 我采纳了@ebo和@Chris Taylor的建议，寻找具有最大绝对二阶导数的点，对于一组离散点x[i]，可以用中心差分来近似： secondDerivative(i) = x(i+1) + x(i-1) - 2 * x(i); [max,idx] = max(secondDerivative); - Jie

Answer 1

我创建了一个Python 包，尝试实现Kneedle算法。

要重新创建上述函数并检测最大曲率点：

x = range(1,21)
y = [0.065, 0.039, 0.030, 0.024, 0.023, 0.022, 0.019, 0.0185, 0.0187,
     0.016, 0.015, 0.016, 0.0135, 0.0130, 0.0125, 0.0120, 0.0117, 0.0115, 0.0112, 0.013]

kn = KneeLocator(
    x,
    y,
    curve='convex',
    direction='decreasing',
    interp_method='interp1d',
)

print(kn.knee)
7

import matplotlib.pyplot as plt
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.xticks(range(1,21))
plt.plot(x, y, 'bx-')
plt.vlines(kn.knee, plt.ylim()[0], plt.ylim()[1], linestyles='dashed')

更新
Kneed拥有一种更好的样条拟合方法来处理局部极小值，使用interp_method = 'polynomial'。

kn = KneeLocator(
    x,
    y,
    curve='convex',
    direction='decreasing',
    interp_method='polynomial',
)

print(kn.knee)
4

还有新的情节：

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.xticks(range(1,21))
plt.plot(x, y, 'bx-')
plt.vlines(kn.knee, plt.ylim()[0], plt.ylim()[1], linestyles='dashed')

- Kevin

Answer 2

你可能想要寻找具有最大绝对二阶导数的点，对于像你提供的离散点集x[i]，可以使用中心差分来近似计算：

secondDerivative[i] = x[i+1] + x[i-1] - 2 * x[i]

如上所述，你真正想要的是曲率最大的点，但二阶导数足够，这种中心差分是二阶导数的很好代理。

- Chris Taylor

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提供的数据存在噪音。你需要比那更加小心。你的建议可能会识别出例如x=12或x=19这样的结果。 - Josephine

嗨，Chris，你给了我一个很好的答案。你能告诉我这个解决方案是否有参考资料吗？我想起草一篇论文，所以需要这个解决方案的参考资料。 - Jie

你能解释一下在什么条件下这个近似值是一个不错的估计，以及在什么条件下会完全失准吗？ - Omley

你真正想要的是最大曲率的点，但第二导数也可以。关于曲率的观点似乎正确，但第二导数并不总是适用（甚至可能从未适用）：考虑像exp(-x)这样的函数——它有一个肘部，但其二阶导数并没有任何事件类似于肘部所在的最大值。 - Alex Fainshtein

Alex Fainshtein是正确的，它并不总是有效，特别是对于exp(-x)...问题中的确切示例信号有波动，二阶导数改变了符号...回答Omley的问题，如果信号不单调，这个近似是不正确的。 - gevra

Answer 3

这种函数通常被称为L曲线，因为它们的形状。当通过正则化解决不适定问题时，它们会出现。

“拐点”是曲线上具有最大绝对二阶导数的点。

- ebo

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是的，你的想法和克里斯·泰勒一样。谢谢。 - Jie

另一个问题是为什么“拐点”是曲线上绝对二阶导数最大的点？ - Jie

Answer 4

你真正想要的是曲率最大的点（curvature）。当斜率远小于1时，这可以通过二阶导数来近似（正如@ebo所指出的那样），但并非总是如此。

- job

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但是m甚至不是1。提示：查看轴刻度。 - TToni