给定一个轴的向量，如何找到其他两个轴的向量？

Question

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这是一个数学问题，我不确定如何解决。该向量未与任何轴对齐，因此仅围绕x、y或z旋转90度并不能给出其他轴。

- Stoff81

4个回答

3

只有一个轴是不够的，因为仍然有无限多个轴可以在垂直平面上。

如果您成功获得另一个轴，您可以使用叉积来找到第三个轴。

- Ignacio Vazquez-Abrams

当你立即说有无限数量的合适向量，并且在下一段中说明如何继续，假设找到了一个合适的向量时，“仅有一个轴不足”的说法怎么可能是真的呢？ - sigfpe

1

如果您有一个向量（x，y，z），则可以得到一个垂直于它的向量为（y，-x，0）（点积为xy-yx+0*z = 0）

然后，您需要对两个向量进行叉乘以获得剩余的垂直向量：（x，y，z）×（y，-x，0）=（0y+zx，yz-0x，-x²-y²）=（zx，yz，-x²-y²）

- Ozan

2

让 (x,y,z)=(0,0,1)。向量 (y,-x,0) 是 (0,0,0)。那是一个零向量。 - sigfpe

@user207442：问题描述说向量未与坐标轴对齐。如果 (x,y,z)=(0,0,1)，那么找到另外两个向量是很简单的。 - Ozan

0

你是在谈论像3D引擎中使用的典型三维坐标系吗？

仅凭一个向量，你无法找到另外两个向量，你所拥有的信息只有它们所在的平面...但即使它们与你所拥有的唯一一个向量垂直，它们也可以处于任何角度。

- Jack

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可以查看英文原文，
原文链接

- Justin L. · Accepted Answer

我可以想到您可能在问几种不同的情况。

给定: 一个预先存在的坐标系

给定: 一个任意基础下的二维坐标系统中的一个轴

如果您在任意基础下的二维坐标系统中有一个轴，则另一个轴是正交向量。

要逆时针将向量旋转90度：

[x_new, y_new] = [ -y_old, x_old]

将向量沿顺时针方向正交旋转：

[x_new, y_new] = [ y_old, -x_old]

总结一下：

Given: x-axis = [ a,  b]
Then:  y-axis = [-b,  a]

Given: y-axis = [ c,  d]
Then:  x-axis = [ d, -c]

给定：任意基础3D坐标系中的两个轴。要完成这个任务，需要找到叉积。

[a,b,c] x [d,e,f] = [ b*f - c*e, c*d - a*f, a*e - b*d ]

按照以下三条指导原则：

已知：三维坐标系中的一个轴

现有的信息不足以找到此问题的唯一解。这是因为，在第二种情况（任意基础下的二维坐标系），需要先找到一个正交向量，但是在三维空间中，单个轴有无限多个可能的正交向量！

然而，可以找到其中一个可能的解。

通过找到任何向量 [d,e,f] 来找到任意一个这些正交向量的方法为：

[a,b,c] = original axis
[d,e,f] = arbitrary orthogonal axis (cannot be [0,0,0])

a*d + b*e + c*f = 0

例如，如果你的原始轴是[2,3,4]，则需要解决以下问题：

2 * d + 3 * e + 4 * f = 0

也就是说，任何满足条件的[d,e,f]都是令人满意的正交向量（只要它不是[0,0,0]）。例如，可以选择[3,-2,0]。

2 * 3 + 3 *-2 + 4 * 0 = 0
  6   +  -6   +   0   = 0

如您所见，一种可行的“公式”是 [d,e,f] = [b,-a,0]...但还有许多其他的公式也可以起作用；事实上，这是无限的！

找到两个轴[a,b,c]和[d,e,f]后，您可以将其缩小回到以前的情况（第3种情况），使用[a,b,c]和[d,e,f]作为您的x和y轴（或任何您需要它们成为的轴，针对您的具体问题）。

标准化

请注意，随着您不断进行点积和叉积，您的向量将变得越来越大。根据您想要的内容，这可能不是期望的结果。例如，您可能希望您的基向量（您的坐标轴）都具有相同的大小/长度。

要将任何向量（除[0,0,0]之外）转换为一个单位向量（一个长度为1，方向与原向量相同的向量）：

r  = [a,b,c]   
v  = Sqrt(a^2 + b^2 + c^2)   <-- this is the length of the original vector
r' = [ a/v , b/v , c/v ]

r'表示r的单位向量 -- 长度为1，方向与r相同。例如：

r  = [1,2,3]
v  = Sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = Sqrt(13) = 3.60555  <-- this is the length of the original vector
r' = [0.27735, 0.55470, 0.83205]

现在，如果我想要一个与r方向相同且长度为5的向量，我只需将r' * 5乘出来，即[a' * 5, b' * 5, c' * 5]。