使用反向抽样从分布函数生成随机变量

Question

我有一个具体的密度函数，想要根据密度函数的表达式生成随机变量。

例如，密度函数是：

df=function(x) { - ((-a1/a2)*exp((x-a3)/a2))/(1+exp((x-a3)/a2))^2 }

从这个表达式中，我想要生成1000个具有相同分布的随机元素。

我知道我应该使用反向抽样方法。为此，我使用我的概率密度函数的累积分布函数，计算如下：

cdf=function(x) { 1 - a1/(1+exp((x-a3)/a2))

这个想法是生成均匀分布的样本，然后使用我的累积分布函数进行映射得到一个反向映射结果。就像这样：

random.generator<-function(n) sapply(runif(n),cdf) 

然后使用所需的随机变量数量调用它以生成随机数。

random.generator(1000) 

这个方法正确吗？

- Lydie

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你需要计算或估算 CDF 的 逆。 - RHertel

Answer 1

第一步是取cdf函数的反函数，这可以通过简单的算术运算来完成：

invcdf <- function(y) a2 * log(a1/(1-y) - 1) + a3

现在，您想使用标准均匀分布的随机变量调用反函数 cdf 进行抽样：

set.seed(144)
a1 <- 1 ; a2 <- 2 ; a3 <- 3
invcdf(runif(10))
#  [1] -2.913663  4.761196  4.955712  3.007925  1.472119  4.138772 -3.568288
#  [8]  4.973643 -1.949684  6.061130

这是一张由10000个模拟值组成的直方图：

hist(invcdf(runif(10000)))

以下是pdf的图表：

x <- seq(-20, 20, by=.01)
plot(x, df(x))

- josliber

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感谢您详细的回答，非常有帮助。 我看到您对我的CDF函数和您提出的反函数都进行了更改！我的CDF表达式中是否有任何错误？ - Lydie

为了更好地解释，我最初定义了CDF函数： cdf=function(x) { 1 - a1/(1+exp((x-a3)/a2))密度函数由导数给出：df=function(x) { ((-a1/a2)*exp((x-a3)/a2))/(1+exp((x-a3)/a2))^2 } - Lydie

@N.Fk 是的，最初你的累积分布函数在低输入时取值接近1，在高输入时取值接近0，所以我认为你不小心翻转了它——我只是对你之前的表达式进行了一次减法。 - josliber

如果我想在生成的数字中设置一些条件，你有任何想法如何实现吗？ 我的意思是，例如我希望生成的值大于或等于100，这可能吗？ 我已经尝试重复该过程，直到获得满足我的约束条件的值，但效率不高！ - Lydie

@Is.Fk，因为这似乎是一个不同的问题，我可以建议您使用“提问”按钮单独提出它吗？这样整个社区就可以共同努力回答它。 - josliber