OpenGL中的投影矩阵真的是一个“投影矩阵”吗？

Question

投影矩阵可以将高维空间中的向量投影到子空间上。我本以为OpenGL中的投影矩阵将R³中的点投影到二维平面上。这似乎得到了互联网上许多文献的支持。许多站点暗示投影矩阵将3D世界投影到平面上，并绘制出来。然而，我感觉这些解释大多数都省略了几个步骤。其中许多看起来相互矛盾，因此我希望对我自己分析的结论进行澄清。

请问是否可以确认以下（如果错误请更正）：

1. OpenGL中的投影变换实际上不是投影矩阵，而是将一个点转换为剪裁空间（仍然属于R³域），实际的投影到二维平面发生在渲染管线之后作为固定函数。

2. 投影矩阵不执行透视除法；但它需要设置w坐标，以便当透视除法稍后发生时（作为管道的固定函数），点被正确地放置在NDC内部或外部。

3. 剪裁空间是在x、y轴上(-1,+1)之间，在z轴上是(n,f)，而NDC则在所有轴上都是(-1,+1)之间的盒子。

我通过分析以下投影矩阵得出了以上结论：

[ 2n/(r-l)     0     (r+l)/(r-b)      0     ]
[    0     2n/(t-b)  (t+b)/(t-b)      0     ]
[    0         0    -(f+n)/(f-n) -2fn/(f-n) ]
[    0         0         -1           0     ]

通过分析，我得出结论：所有在视锥体内的点在x、y轴上都将在剪切边界内；然而，在z轴上可能会超出边界。一旦透视除法发生（此时w成为旧的-z），该点将完全位于剪裁空间中。

由此我还得出结论：经MVP变换后，为了使一个点可见，它的x、y和z/w坐标必须介于+/-1之间，并且透视除法和实际投影发生在顶点着色器之后。

如果可能，请仅限于现代OpenGL（3.3核心或更高版本）的特定答案。

- Francis

Answer 1

1. OpenGL中的投影矩阵将点转换为裁剪空间。但这已经是一个投影了。在矩阵乘法之后唯一需要做的就是透视除法。
2. 正确
3. 裁剪空间是每个轴上从[-w到w]的空间，因为在裁剪空间和NDC之间发生的唯一操作就是透视除法。NDC是每个轴上从[-1到1]的空间。

附加说明:

• 从数学上讲，OpenGL投影矩阵将4D空间（P^4）映射到另一个4D空间（裁剪空间）。通过透视划分，4D裁剪空间通过齐次化被截断为3D NDC（R^3）空间。
• 当点的x、y、z坐标在[-w,w]之间时，在投影后该点是可见的。剪裁发生在透视除法之前的原因是，NDC不一定是立方体空间（在OpenGL中是一个，但是在DirectX中，例如，NDC是x、y在[-1,1]，z在[0,1]）
• 通常情况下，几何投影被定义为将一个空间（O）映射到另一个空间（T）的映射p。这将被写成

O --p--> T

在某些情况下，这样的映射可以由欧几里得空间中的转换矩阵描述（例如平行投影），但在许多情况下，这是不可能的（特别是在O中的平行线在T中不再平行的情况下）。这就是为什么需要投影空间。

从数学角度来看，我最好停止在这里了，但如果您想深入了解这个主题，我建议阅读以下文章：

维基百科投影空间
维基百科投影几何
关于投影的视频（本视频和下一个视频）

- BDL

Answer 2

我猜这在很大程度上取决于如何准确地定义“投影”。维基百科介绍数学投影如下：

在数学中，投影是将一个集合（或其他数学结构）映射到一个子集（或子结构）的映射，该子集等于其映射组合的平方（或者换句话说，是幂等的）。

因此，换言之，应用两次投影不会进一步改变结果。很容易看出，如果将三维点投影到嵌入该空间的任何二维平面上，则满足此属性。

然而，用于3D图形渲染的典型“投影”矩阵并不符合那个标准。 “投影”这个术语使用得更加宽泛。 实际上，我们不想将3D点投影到2D子空间中，因为信息会丢失。我们想要在屏幕空间中保留深度信息，例如，能够进行深度测试。因此，在“透视除法”之后，从概念上讲，我们仍然有一个3D空间。而GL的窗口空间明确定义为三维空间，具有窗口空间z值。当然，只使用x和y来寻址颜色缓冲区中的像素，但是每个生成的片段都有它的z值。

我听说过用于区分此类操作与上述严格的数学投影的术语是“透视变换”，这从数学角度可能更有意义。这些东西的好处是它们是可逆的（在一定程度上存在模棱两可/由于透视除法，对象被映射到相机后面的镜像位置，但这些位于视景体之外，通常不会成为问题）。

- derhass