投影矩阵是如何工作的？

Question

我必须为我的A-Level写一篇关于3D编程的论文。但我严重困惑于透视投影矩阵，需要详细解释该矩阵。我在许多网站和YouTube视频上搜寻了很多这方面的内容，但很少有人试图回答为什么矩阵在那个位置具有这些值。根据此http://www.songho.ca/opengl/gl_projectionmatrix.html，我能够找到w行的作用，但我不理解其他三行。

我决定使用只针对对称视口（右手坐标系）的“简单”版本：

![<code>r+l=0,</code>r-l=2r<code>(width);</code>t+b=0<code>,</code>t-b=2t<code>(height);</code>[n/r 0 0 0; 0 n/t 0 0; 0 0 -(f+n)/(f-n) -(2fn)/(f-n); 0 0 -1 0]`[1]

非常感谢每一个尝试向我解释前三行的人！

- Mohammed Li

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在有人点赞之前，这其实是一个很好的问题。我现在没有时间写详细的答案，但是这是要点：在二维平面上，想象一条与x轴平行且距离为y=n的线段从x=l到r；这是近投影“线”。现在找一个映射，将该线段上的点映射到范围-1…1，并找到一个因子y_w和偏移w_w，以便将它们乘以和加到y坐标上，使得当y=n时，w=1，如果y不同，则w与y成比例关系。 - datenwolf

Answer 1

矩阵的核心目的是将3D坐标映射到2D平面上，并使更远的物体变小。

仅为此，一个简单得多的矩阵就足够了（假设您的相机位于原点并朝向Z轴）：

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0

在使用该矩阵进行乘法运算并对w坐标进行重新归一化后，您将得到确切的结果。每个x,y,z,1点变为x/z,y/z,0,1。

然而，没有深度信息（所有点的Z为0），因此深度缓冲/滤波器无法工作。因此，我们可以向矩阵添加一个参数，以便深度信息仍然可用：

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0

现在，生成的点包含Z坐标上的逆深度。每个 x,y,z,1 点变成了 x/z,y/z,1/z,1。

多出来的参数是通过使用比例和偏移将坐标映射到 (-1,-1,-1) - (1,1,1) 设备框中（如果超出该框，则该点不会被绘制）得到的。

- ratchet freak

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非常感谢！实际上，如果有人用一句话向您解释，那么这真的很简单！ - Mohammed Li

我花了很长时间才意识到这一点。当你说“在乘以这个矩阵然后重新规范化w坐标之后，你就得到了那个结果。”时，并不意味着实际上就是这样发生的。 只有在某个随机的YouTube视频中，当那个人说“硬件会为你完成这个操作”时，一切才恍然大悟。我试图弄清楚如何让矩阵将其他坐标除以Z，但却费了好长时间。 谢谢，希望我的评论能帮助一些同样想法愚蠢的人。 - TrisT

等一下，4D向量的Z坐标如何影响其他坐标，因为与Z相乘的矩阵部分都是0？@TrisT或其他人，你能具体评论那个人让你意识到了什么吗？提前致谢！ - TheSmolCodar

@TheSmolCodar，您是指第一个矩阵吗？该矩阵将x、y、z、1转换为x、y、0、z。然后图形管道将除以最后一个分量。在渲染中，最终的z分量用于深度测试，但使用第一个矩阵时，它们全部都是0，因此需要第二个矩阵。 - ratchet freak