点乘积与FFT

Question

根据卷积定理，在时间域中的卷积是在FFT域中的乘积。通过正确的零填充，它可以运作：

% convolution in time domain
a = [1 2 3];
b = [4 5 6];
c = conv(a,b);

a_padded=[a 0 0]; b_padded=[b 0 0];
c_bis=ifft(fft(a_padded).*fft(b_padded));
% we do find c_bis=c

然而，这个定理也可以反过来应用，时间域的乘积在FFT（快速傅里叶变换）域中是卷积。我不理解这一部分。

d = a.*b;
D=conv(fft(a_padded),fft(b_padded));
d_bis=ifft(D);

如何在频域使用卷积反演时间域中的点乘积？这将为d_bis提供复向量。

- jerome.dubuk

Answer 1

有趣的问题！

错误（虽然是微妙的）在于你说

时域中的乘积是FFT域中的卷积

这在傅里叶变换中是正确的。对于离散傅里叶变换（DFT或FFT），正确的表述是

时域中的乘积是FFT域中的循环卷积，除以序列长度

因此，在你的d_bis计算中，你必须进行以下更改：

• 使用循环卷积，而不是卷积；
• 除以序列长度；
• 不要应用填充。

如果你有信号处理工具箱，可以使用cconv来计算循环卷积：

N = length(a);
D = cconv(fft(a),fft(b), N)/N;
d_bis=ifft(D); %// now this equals d

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为确保第一种情况（时域卷积在频域中得到乘积）中的正确公式也涉及循环卷积，需要注意以下内容：

时域中的循环卷积是FFT域中的乘积

(在这种情况下不需要除以序列长度)

但由于在时域中填充了零，正常卷积和循环卷积之间的差异消失，因此可以得到正确的结果。如果不填充，则结果将如下所示：

c = cconv(a, b, N);
c_bis=ifft(fft(a).*fft(b)); %// this equals c

- Luis Mendo

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谢谢……这澄清了很多事情。 - sten