使用矩阵变换和numpy将立方体投影到平面上

Question

我不确定这个主题是更适合在这里发布还是在数学溢出站。因为我在使用numpy，所以我想在这里发布它。

我正在尝试将一个三维空间中的立方体旋转，然后投影到一个二维平面上。

我从单位矩阵开始：

import numpy as np

I = [[1,0,0],
     [0,1,0],
     [0,0,1]]

然后，我对Y轴应用旋转变换：

from math import sin, cos

theta = radians(30)
c, s = cos(theta), sin(theta)
RY = np.array([[c, 0, s],[0, 1, 0], [-s, 0, c]])
# at this point I'd be dotting the Identiy matrix, but I'll include for completeness
I_RY = np.dot(I, RY)

此时，我有了一个已经绕Y轴旋转了30度的新基空间。

现在，我想将其投影到二维空间上。我发现，这个新空间基本上是一个Z轴设置为零的单位基础:

FLAT = [[1,0,0],
        [0,1,0],
        [0,0,0]]

现在，我想利用这个来完成从立方体到正方形的全转换：

NEW_SPACE = np.dot(I_RY, FLAT)

现在唯一需要做的就是转换原始立方体的点。假设原始立方体的东北角点设置为 [1,1,1] 和 [1,1,-1]，我可以按照如下方式获取新点：

NE_1 = np.array([1,1,1])
NE_2 = np.array([1,1,-1])
np.dot(NEW_SPACE, NE_1)
np.dot(NEW_SPACE, NE_2)

然而，这给我带来了以下问题：

array([ 0.8660254,  1.       , -0.5      ])

这种情况是可以理解的，因为两个点都被压平到了同一个位置。但是，在Z轴上的-0.5代表什么？它表示什么意思？

在变换后Z轴上存在一个值让我觉得我的方法可能不正确。如果我走错了，请告诉我正确的方法。

- dopatraman

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只是提醒一下，我不是学生，所以请不要建议“问我的导师”。我是一名全职程序员，在业余时间学习这个。 - dopatraman

看起来像是乘法的顺序问题。你似乎先将向量与投影相乘，然后再与旋转相乘。这个顺序可能应该反过来。 - Paul Panzer

怎么做？我正在进行 I -> RY -> FLAT。 - dopatraman

好的，是的，然后你要从右边乘以NE_1/2，这就像先乘以FLAT一样。（回想一下矩阵乘法是_结合律_，意味着括号（如果您愿意，可以理解为时间顺序）不重要，但不是_交换律_，意味着左右顺序很重要。） - Paul Panzer

@PaulPanzer，你是对的，请将您的回答提交为答案，我会标记它为正确。 - dopatraman

Answer 1

正如@PaulPanzer所指出的那样，我在错误的方向上给新向量加点。解决方法为

np.dot(NE_1, NEW_SPACE)

- dopatraman

Answer 2

你正在正确的道路上。将立方体顶点转换为3D管道是：

投影 @ 相机 @ 世界 @ 模型 @ 顶点

你的FLAT矩阵是一个相机矩阵，具有focal_length=1和cx = cy = 0（屏幕偏移量）。

如果需要参考，punyty是一个使用numpy渲染3D模型的小型演示引擎。

- Joseph Sheedy