计算矩阵行列式时遇到的问题

Question

我正在尝试计算一个矩阵的逆矩阵的行列式。这个矩阵的逆矩阵是存在的。然而，当我尝试计算逆矩阵的行列式时，在Matlab中给出了无限值（Inf）。这是什么原因呢？

- rajan sthapit

---

也许您的矩阵非常接近奇异矩阵。 - Oliver Charlesworth

你说的“非常接近奇异”的意思是什么？ - rajan sthapit

如果行列式非常接近于奇异矩阵，那么行列式的值将非常接近于零，因此逆矩阵的行列式将非常大。如果计算受到数值精度的限制，结果可能会变成无穷大。 - Oliver Charlesworth

我明白了。但是在数值精度占主导地位的情况下，这可能已经足够接近了。 - Oliver Charlesworth

在这种情况下，问题解决了！您现在应该关闭这个问题。 - Oliver Charlesworth

Answer 1

简短回答：给定 A = inv(B)，那么 det(A)==Inf 可能有两种解释：

1. 在计算行列式时发生了溢出，
2. A 中存在一个或多个无限元素。

在第一种情况下，您的矩阵缩放得很差，因此 det(B) 可能下溢，而 det(A) 上溢。请记住，det(a*B) == a^N * det(B)，其中 a 是标量，B 是 N 行 N 列的矩阵。

在第二种情况下（即 nnz(A==inf)>0），矩阵 B 可能是“工作精度奇异”的。

附：

如果矩阵具有较大的条件数，则矩阵近似奇异。 （小行列式与奇异性无关，因为行列式本身的大小会受缩放影响。）

如果矩阵中的零主元在高斯消元中产生，则该矩阵具有工作精度奇异性：在计算逆矩阵时，Matlab 必须计算 1/0，这会返回 Inf。

实际上，在 Matlab 中，溢出和除以零异常没有被捕获，因此根据 IEEE 754 标准，Inf 值会传播。

- Stefano M