如何在三维空间中将一个平面多边形投影到一个平面上

Question

如何在三维空间中将一个平面多边形投影到一个平面上

math3dgeometryprojectionprojective-geometry

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我想将我的多边形沿着一个向量投影到三维空间中的平面上。我希望使用单个转换矩阵来完成此操作，但是我不知道如何构建这种类型的矩阵。

已知：

- 平面的参数（ax+by+cz+d） - 我的多边形的世界坐标。正如标题中所述，我的多边形的所有顶点都位于另一个平面上。 - 沿着其投影我的多边形的方向向量（当前为多边形平面的法向量）

目标：

- 一个4x4的变换矩阵，可以执行所需的投影 - 或者一些关于如何自行构建矩阵的见解

更新：

感谢答案，它按预期工作。

对于找到这个问题的人，需要注意：如果投影平面的法线与投影向量平行，则分母D将变为（几乎）0，因此需要处理此特殊情况。我通过检查D < 1e-5，如果是，则沿着延伸向量转换我的多边形来解决这个问题。

- sum1stolemyname

1个回答

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可以查看英文原文，
原文链接

- interjay · Accepted Answer

假设多边形的一个顶点为(x0, y0, z0)，方向向量为(dx, dy, dz)。

投影线上的一个点为：(x,y,z) = (x0 + t*dx, y0 + t*dy, z0 + t*dz)。

你需要找到这条线与平面的交点，因此将它代入平面方程ax+by+cz+d=0并解出t即可：

t = (-a*x0 - b*y0 - c*z0 - d) / (a*dx + b*dy + c*dz)

然后你有了目标顶点：x = x0+dx*t，等等。

由于这是一种仿射变换，可以通过4x4矩阵来执行。您应该能够通过将x、y、z的三个方程写成关于x0、y0、z0的函数并取系数来确定矩阵元素。

例如，对于x：

x = x0 - (a*dx*x0 + b*dx*y0 + c*dx*z0 + d*dx) / D
x = (1 - a*dx/D)*x0 - (b*dx/D)*y0 - (c*dx/D)*z0 - d*dx/D

上述公式中，D = a*dx + b*dy + c*dz是分母。y和z的计算方式类似。

结果矩阵：

1-a*dx/D    -b*dx/D    -c*dx/D   -d*dx/D
 -a*dy/D   1-b*dy/D    -c*dy/D   -d*dy/D
 -a*dz/D    -b*dz/D   1-c*dz/D   -d*dz/D
    0          0          0         1

（注意：在Direct3D中，此矩阵应该被转置，因为它使用行向量而不是列向量。）