如何将一个点投影到球面上

Question

如果我有一个点(x,y,z)，如何将其投影到一个球体(x0，y0，z0，半径)上（在其表面上）。 我的输入将是点和球的坐标。 输出应该是投影点在球面上的坐标。

只需将它从笛卡尔坐标系转换为球坐标系吗？

- George

---

你如何投影这个点？连接点和球的中心？平行于某个轴？还是其他投影方式？此外，点和球的中心的(x,y,z)值是相同的吗，还是你只是使用了相同的变量名？ - Ivaylo Strandjev

Answer 1

对于最简单的投影（沿连接点与球心的直线）：

1. 将该点写成以球心为中心的坐标系(x0,y0,z0)下的形式：

   P = (x’,y’,z’) = (x - x0, y - y0, z - z0)

2. 计算这个向量的长度：

   |P| = sqrt(x'^2 + y'^2 + z'^2)

3. 将该向量缩放，使其长度等于球体的半径：

   Q = (radius/|P|)*P

4. 然后切换回原始坐标系以获取投影：

   R = Q + (x0,y0,z0)

- Stephen Canon

---

@George 把点直接放在球体表面，使其大小等于半径。 - Adam Erickson

Answer 2

基本上，您希望构建一条通过球心和点的线。然后，您将此线与球相交，便得到了投影点。

更详细地说：

设p为点，s为球心，r为半径，则x = s + r*(p-s)/(norm(p-s))，其中x是您要寻找的点。具体实现由您完成。

我同意球坐标方法也可以解决问题，但计算量较大。在上述公式中，唯一需要进行的非平凡操作是求范数的平方根。

- Azrael3000

Answer 3

如果您将球体中心的坐标设置为系统的原点（x0，y0，z0），则它可以工作。因此，您将拥有相对于该原点的点的坐标（Xp'，Yp'，Zp'），并将坐标转换为极坐标，您会丢弃半径（球体中心和点之间的距离），角度将定义投影。

- clabacchio