偏序集中的积和余积

Question

18

在阅读Bartosz Mileski的卓越文章《程序员的范畴论》时，我卡在了第二个练习上，该练习涉及偏序集中的积。给定一个偏序集，

    b   e
  ↗   ⤭   ↘
a → c   f → h
  ↘   ⤭   ↗
    d   g

如何以范畴论的方式定义一个产品？两个对象的积是什么？余积呢？

- ThreeFx

1个回答

网页内容由stack overflow 提供, 点击上面的

可以查看英文原文，
原文链接

- ThreeFx · Accepted Answer

让我们首先来看一下产品的定义：

一个由对象a和b组成的产品是一个带有态射p :: c -> a和q :: c -> b的对象c，满足对于任何其他对象c'（带有态射p' :: c' -> a和q' :: c' -> b），存在一个态射m :: c' -> c，使得p' = p . m和q' = q . m。

请记住，偏序集中的态射基本上描述了“小于或等于”的关系。

现在，两个对象a和b之间的产品c必须是小于或等于a和b的对象。举个例子，让我们从你的图中选择a作为e，b作为g。

    b   e -- this one is a
  ↗   ⤭   ↘
a → c   f → h
  ↘   ⤭   ↗
    d   g -- this one is b

从简单来说，首先想到的一个对象，它总是小于或等于其他任何对象的，就是最小的对象，在这种情况下是a。

现在，a是否是e和g的乘积的有效候选对象？让我们来检查一下乘积的定义：

从a到e是否存在一个态射？是的，存在，并且可以写成pₐ = ce . ac（读作：“首先是从a到c的箭头，然后是从c到e的箭头”）。

从a到g是否存在一个态射？是的，也存在，并且可以写成qₐ = cg . ac。

到目前为止一切顺利，唯一剩下的问题是，是否这是“最佳”候选对象，即是否不存在其他对象，我们可以在a和另一个候选对象之间构建唯一的同构？

从图中可以看出，对象c也符合所需的条件，其中p = ce和q = cg。

剩下的就是根据上述定义对这两个对象进行排名。我们可以看到存在一个从a到c的态射。这意味着c必须是最佳候选，因为我们现在可以定义一个态射m = ac，使得pₐ = p . m = ce . ac和qₐ = q . m = cg . ac。

因此，在偏序集中，两个对象的乘积实际上是比这两个对象都小的最大对象（也称为最大下界）。值得注意的是，在全序中，这对应于函数min(a, b)，因为每个对象都必须与任何其他对象相关（Wolfram称之为三分律）。

类比于产品定义，余积对应于大于或等于a和b的最小对象。在完全排序中，这对应于两个对象的最大值。你可以自己算出来。