计算标准差

Question

我需要使用蒙特卡罗方法计算积分的算法，为了模拟目的，我需要计算程序生成的样本的标准差。我的问题是，当我增加样本元素的数量时，标准差并没有像我预期的那样衰减。起初我以为是函数有误，但使用numpy预定义的函数来计算标准差后，发现值是相同的，并且并没有像我预期的那样下降。所以我怀疑问题出在我的样本上，于是我进行了以下模拟来测试标准差是否会按照预期逐渐减小:

list = [random.uniform(0,1) for i in range(100)]
print np.std(list)

得到的标准差为：0.289

list = [random.uniform(0,1) for i in range(1000)]
print np.std(list)

得到的标准差为：0.287

随着样本量的增加，标准差不应该会减少吗？因为我需要将其作为模拟中的停止准则，并且我期望随着样本量的增加，它会减小。我的数学概念出了什么问题吗？

提前感谢！

- Giiovanna

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不要将“list”用作变量，它用于创建列表。 - user2961646

那么我应该使用什么呢？数组？ - Giiovanna

此问题似乎不适合这里，应该提交至 http://math.stackexchange.com/ 或者 http://stats.stackexchange.com/。我将为您进行翻译，尽量保持原意，并简化语言以便易懂。 - jonrsharpe

我的朋友，我刚刚计算了2个值。如果我多次这样做，一些值会随着n的增加而变得更大。 - Giiovanna

@inspectorG4dget，所有这样的列表（无论大小）都具有相同的标准差，误差由标准误差给出，并且具有相等（而不是低）的高于或低于实际总体标准偏差的概率，该值为1/sqrt(12)。更多信息请参见我的答案。 - askewchan

Answer 1

分布的标准差与样本大小无关。对于均匀分布，标准差为(b-a)/sqrt(12)，其中a和b是您的分布上下限。在您的情况下，a=0，b=1，因此您应该期望任何样本大小的std=1/sqrt(12)=0.288675。

也许您要找的是标准误差，其公式为std/sqrt(N)，随着样本大小的增加而减小:

In [9]: sample = np.random.uniform(0, 1, 100)

In [10]: sample.std()/np.sqrt(sample.size)
Out[10]: 0.029738347511343809

In [11]: sample = np.random.uniform(0, 1, 1000)

In [12]: sample.std()/np.sqrt(sample.size)
Out[12]: 0.0091589707054713591

- askewchan

Answer 2

不，你的数学概念没有问题，标准偏差在n变大时保持不变。AHuman正确指出，你应该避免使用保留关键字作为变量名：list是Python保留关键字。请改用my_list或其他变量名。

【编辑】由于计算得到的平均值是随机的，误差边界将无法使用；您将不得不计算置信区间，这在本例中是概率性的误差边界。您可以在此处查找更多信息：http://planetmath.org/montecarlosimulation

- Reblochon Masque

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好的，我在考虑使用标准差和样本均值之间的比率来停止我的模拟。这定义了一个相对误差，给定了这个相对误差，我想使用它来得到最佳的n和最佳的积分估计。但是，由于标准差将保持不变，所以这如何成为一个好的标准呢？ - Giiovanna

我已经更改了我的列表名称，谢谢。 - Giiovanna