幺半群同态和同构

Question

我正在阅读《Scala编程》（红皮书）。

在关于单子的章节中，我理解什么是单子同态，例如：字符串单子 M 通过连接和长度函数 f 保留了单子结构，因此它们是同态的。

M.op(f(x), f(y)) == M.op(f(x) + f(y))
// "Lorem".length + "ipsum".length == ("Lorem" + "ipsum").length

引用书中的话（从记忆中，如有错误请指正）：

当这种情况在两个方向上发生时，它被命名为单子同构，这意味着对于单子M，N和函数f、g，f andThen g和g andThen f是identity函数。例如，具有连接的字符串Monoid和List[Char] Monoid是同构的。

但我看不到实际的例子来证明这一点，我只能想到f是length函数，但g会发生什么?

注意：我看过这个问题：What are isomorphism and homomorphisms。

- Alejandro Alcalde

---

你看过这个吗？https://dev59.com/0lMI5IYBdhLWcg3wir6J - slouc

啊哈！不是被选中的答案，而是这个 https://dev59.com/0lMI5IYBdhLWcg3wir6J#55993551，在 Monoid同构 中对我有用。所以，在这种情况下，f和g将会是toVector和toList，对吗？ - Alejandro Alcalde

哦，那个是我的，谢谢！ :) 是的，没错。 - slouc

@slouc 我在那里给你点了赞;-) - Alejandro Alcalde

谢谢 :) 很高兴看到你的回答能帮助到人们。干杯！ - slouc

Answer 1

为了看到String和List [Char]之间的同态，我们有toList：String -> List [Char]和mkString：List [Char] -> String。 length是从String幺半群到自然数加法幺半群的同态映射。

String幺半群的一些内同态映射示例包括toUpperCase和toLowerCase。

对于列表，我们有许多同态映射，其中许多只是fold的不同版本。

- craigpastro

Answer 2

这是siyopao的答案，用ScalaCheck程序表达

object IsomorphismSpecification extends Properties("f and g") {
  val f: String => List[Char] = _.toList
  val g: List[Char] => String = _.mkString

  property("isomorphism") = forAll { (a: String, b: List[Char]) =>
    (f andThen g)(a) == a && (g andThen f)(b) == b
  }
}

输出的是

+ f and g.isomorphism: OK, passed 100 tests.

- Mario Galic