Haskell中的布尔幺半群

Question

当然，数据类型并不是精确的，但这大致上是如何实现Monoid Bool的？

import Data.Monoid

data Bool' = T | F deriving (Show)

instance Monoid (Bool') where
    mempty = T
    mappend T _ = T
    mappend _ T = T
    mappend _ _ = F 

如果是/不是，为什么要将Bool的mappend设置为OR而不是AND？

- Kevin Meredith

Answer 1

对于 Bool，有两种可能的 Monoid 实例，因此 Data.Monoid 使用新类型来区分我们打算使用哪个实例：

-- | Boolean monoid under conjunction.
newtype All = All { getAll :: Bool }
        deriving (Eq, Ord, Read, Show, Bounded, Generic)

instance Monoid All where
        mempty = All True
        All x `mappend` All y = All (x && y)

-- | Boolean monoid under disjunction.
newtype Any = Any { getAny :: Bool }
        deriving (Eq, Ord, Read, Show, Bounded, Generic)

instance Monoid Any where
        mempty = Any False
        Any x `mappend` Any y = Any (x || y)

编辑：正如Ørjan所指出的，实际上有四个有效实例。

- Gabriella Gonzalez

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谢谢。我不确定这是否完全是一个单独的问题，但为什么要使用newtype而不是data呢？谢谢。 - Kevin Meredith

实际上有四个。(&&),(||), (==), (/=) 都可以成为幺半群运算。但是最后两个没有预定义。 - Ørjan Johansen

@AndrewC 在我看来，True 对于 (==) 实例是 mempty，而 False 对于 (/=) 实例也是 mempty。此外，在这种情况下，如果其中一个 mempty 定律得到满足，另一个也会被满足，因为 (==) 和 (/=) 都是可交换的。 - David Young

@2016rshah 这被称为“记录语法”，你可以在这里了解更多信息：链接，标题为“记录语法”的部分。 - Gabriella Gonzalez

其中八个不符合条件，因为它们的<>具有T <> F /= F <> T，这意味着既不是F也不是T是mempty。另外两个不符合条件，因为它们的<>具有T <> F = F = T <> T，这意味着既不是F也不是T是mempty。另外两个不符合条件，因为它们的<>有T <> F = T = F <> F，这意味着既不是F也不是T是 mempty。其余的四个是&&、||、==和/=。 - rampion

Answer 2

您提供的实例不是一个单子。

mappend F mempty
mappend F T  -- by definition of mempty
T            -- by definition of mappend

我们已经证明了 F <> mempty === T，但对于任何交换半群，x <> mempty === x。

Any 的单位是 False，而 All 的单位是 True。

- John L