经度/纬度转四元数

Question

经度/纬度转四元数

latitude-longitudeanglequaternions

6

我有一组经纬度，想把它转换成四元数，请问我该如何操作？我想这么做是因为我有一个应用程序可以在球体上投影地球，并且我想从一个位置旋转到另一个位置。祝好！

- rick

3个回答

1

仅有经度和纬度无法描述四元数。经度和纬度可以描述三维球面上的一个点。假设这是一个法向量直接指向屏幕的点。你还有一个自由度。球体可以围绕由lat-lon指定的点的法向量旋转。如果你想要一个表示球体方向的四元数，你需要完全指定旋转。

所以假设你想要保持球体的北极朝上。如果北极与物体的+z轴对齐，并且屏幕上的“上”与世界的+y轴对齐，然后你想要旋转球体，使得球面上的点R直接指向屏幕（其中R是使用经纬度转欧几里得坐标系找到的），那么你可以按照以下方式创建旋转矩阵。

您想让对象的R与世界的+z（假设是类似于OpenGL的视图坐标系）对齐，并且您希望对象的+z尽可能地与世界的+y对齐。我们需要第三个轴；因此，我们规范化R，然后找到：P = crossP([0 0 1]^T,R)。我们规范化P，然后将正交性强加到第二个轴上：Q = crossP(R,P)。最后，规范化Q。现在，我们有3个正交向量P，Q，R，我们希望它们分别与世界的x，y，z对齐。

我假设P，Q和R是列向量；因此，要创建一个变换矩阵，我们只需将它们粘在一起：M = [P Q R]。现在M是将世界坐标中的点转换为对象坐标的矩阵。要走相反的方向，我们找到M的逆。幸运的是，当矩阵的列正交时，逆矩阵与转置矩阵相同。所以我们得到：

             [ P^T ]
M^-1 = M^T = [ Q^T ]
             [ R^T ]

从那里开始，如果需要的话，您可以使用矩阵转四元数找到一个四元数。然后，您可以使用slerp或您选择的方法在四元数之间进行插值。

- JCooper

1

也许你可以研究一下boost C++库是如何实现它的。(或者甚至使用它) http://www.boost.org/doc/libs/1_46_0/libs/math/doc/quaternion/html/boost_quaternions/quaternions/create.html

经度和纬度在很大程度上类似于球面坐标系中的方位角(θ-[0,2*PI])和倾角(ρ?[0,PI])角度(当然表面半径r=1)。Boost在我发布的链接中有一个用于球面到四元数的函数。

- jon_darkstar

嗨，jon_darkstar，所以经度是phi，纬度是theta，但rho会是什么？ - rick

那是 φ 吗？我忘记了 =P 早就没用过球坐标系了。我真的无法想象第三个角度会有什么作用。rho 可以只是表示大小，但为什么会有两个 phis 呢？我只能指向那个方向，祝你好运。 - jon_darkstar

我正在使用这个代码将经纬度转换为笛卡尔坐标系： ' float phi = ofDegToRad(ll.lat + 90); float theta = ofDegToRad(ll.lon - 90); x = sin(phi) * cos(theta); y = sin(phi) * sin(theta); z = cos(phi);' 现在我需要一种方法将其转换为旋转而不是坐标。旋转可以是轴/角度或四元数。 - rick

我可能漏掉了什么，但笛卡尔坐标系不会让你离你所需的更远吗？纬度和经度是角度。 - jon_darkstar

网页内容由stack overflow 提供, 点击上面的

可以查看英文原文，
原文链接

- meepzh · Accepted Answer

有一种方法可以在不使用矩阵或向量的情况下完成此操作，类似于this numpy implementation。我们可以将经度/纬度视为两个四元数旋转组合在一起。

让我们使用一个Z-up右手坐标系。我们称经度为φ，纬度为θ，并将由这两个值表示的点称为(φ, θ)。为了可视化，红轴对应X，绿色对应Y，蓝色对应Z。

我们想要找到表示从红色的(0, 0)旋转到绿色的(a, b)的四元数：

我们可以将这个旋转表示为先经度旋转，然后是纬度旋转的组合，如下所示：

首先，我们沿着Z轴旋转了a，这将转换X和Y轴。然后，我们沿着新的本地Y轴旋转了b。因此，我们知道了该旋转的两组轴/角度信息。

幸运的是，从轴/角度到四元数的转换已经是已知的。给定一个角度α和一个轴向量ω，得到的四元数为：

(cos(α/2), ω.x*sin(α/2), ω.y*sin(α/2), ω.z*sin(α/2))

因此，第一次旋转由绕世界坐标系(0, 0, 1)轴旋转a度表示，结果如下：

q1 = (cos(a/2), 0, 0, sin(a/2))

第二次旋转是沿着经过变换/本地轴（0，1，0）的b度旋转，得到：

q2 = (cos(b/2), 0, sin(b/2), 0)

我们可以将这两个四元数相乘，得到一个单一的四元数，表示从 (0, 0) 到 (a, b) 的复合旋转。四元数乘法公式有点冗长，但您可以在此处找到它。结果如下：

q2*q1 = (cos(a/2)cos(b/2), -sin(a/2)sin(b/2), cos(a/2)sin(b/2), sin(a/2)cos(b/2))

虽然这没什么意义，但我们可以确认这个公式与之前提到的numpy实现是相同的。

JCooper提出了一个很好的观点，即在这种情况下，仍然有一个自由度留给X轴。如果θ保持在±90度范围内，我们可以想象Z轴始终指向上方。这会限制X轴旋转并希望这正是您想要的。

希望这能帮到您！

编辑：请注意，这与使用2个欧拉角进行操作基本相同。因此，要撤销此转换，可以使用任何四元数到欧拉角的转换，前提是旋转顺序相同。