将单位向量转换为四元数

Question

将单位向量转换为四元数

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我对四元数很陌生，但我了解如何使用它们进行操作的基础知识。目前我想做的是将已知的四元数与空间中的两个绝对点进行比较。我希望能够将这些点简单地转换为第二个四元数，从而方便地进行比较。

到目前为止，我已经将这两个点转换成了一个单位向量。然后我希望直接将 i j k 插入虚部，并用零作为标量插入到四元数中。之后，我可以将一个四元数乘以另一个四元数的共轭，得到第三个四元数。这个第三个四元数可以转换成一个轴角，从而给出原始两个四元数之间的差异度数。

这个思路正确吗？所以应该只是 [ 0 i j k ]。之后可能需要对四元数进行归一化，但我不确定。

我有一种不好的预感，这不是从向量到四元数的直接映射。我尝试将单位向量转换为轴角，但我不确定这是否可行，因为我不知道要输入什么角度。

- Hmm

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这可能更适合发布在http://math.stackexchange.com/或http://physics.stackexchange.com/。据我所知（非常有限！），四元数是4D复数，用于描述旋转。对我来说，它们与向量的关系并不明显。 - Daniel Farrell

你是否尝试使用四元数来表示旋转？如果不是，请明确你想要表示什么，因为比较位置向量更适合。顺便说一句，将向量和角度的元组转换为四元数很容易，方位角和俯仰角转换为四元数也很容易。 - Theraot

1个回答

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可以查看英文原文，
原文链接

- Fred Klingener · Accepted Answer

表示法

四元数定义在一个由基向量{1, i, j, k}组成的四维空间中。Hamilton将基本关系刻在都柏林的布罗姆桥上:

i² = j² = k² = i j k= -1。

有许多等效的四元数参数化方法，但这里使用标量和向量形式。

1.) A = {a0, a} 以及 B = {b0, b}，其中 A 和 B 是四元数，a0 和 b0 是标量，a 和 b 是三维向量。

2.) X = {0，x} 是一个向量四元数。

3.) (非交换的) 四元数积 直接源于上述i、j和k的属性，A⊗B = {a0 b0 - a.b, a0 b + b0 a + a x b}

4.) 四元数共轭 是 A^* = {a0, -a}

5.) 四元数积的共轭 是反向顺序的共轭积。 (A⊗B)^* = B^*⊗A^*

6.) 向量四元数的共轭 是其负数。 X^* = {0, -x} = -X

7.) 四元数范数 是 |A| = √(A⊗A^*) = √( a0² + a.a )

8.) 单位四元数的范数为1。

9.) 满足x . x = 1的三维单位向量x = {x₁, x₂, x₃}可以表示为一个单位向量四元数X = {0, x}, |X| = 1。

10.) 绕着单位向量轴n旋转角度θ的四元数向量X的球面旋转是Q⊗X⊗Q^*，其中Q是四元数{cos(θ/2), sin(θ/2) n}。注意，|Q| = 1。

注意四元数向量积的形式。给定向量四元数 X₁ = { 0, x₁ ) 和 X₂ = { 0, x₂ }，四元数积为 X₂⊗X₁^* = { x₁.x₂, x₁ × x₂ }。四元数将点积作为标量部分和叉积作为向量部分重新组合在一起，这两个积已经分离了一百多年。这些积中没有一个是可逆的，但四元数可以按照下面的方式进行。

反演

找到球面变换四元数 Q₁₂，以使向量 X₁ 旋转并与向量 X₂ 对齐。

从上面得到

X₂ = Q₁₂⊗X₁⊗Q₁₂^*

将两边乘以X₁^*，

X₂⊗X₁^*=Q₁₂⊗X₁⊗(Q₁₂^*⊗X₁^*)

请记住，旋转轴n源于叉积x₁×x₂，因此n.x₁=0。而且Q^*⊗X^*=(X⊗Q)^*=X^*⊗Q，留下

X₂⊗X₁^* = Q₁₂⊗X₁⊗X₁^*⊗Q₁₂ = Q₁₂⊗Q₁₂

因此，四元数变换可以直接解决为：

Q₁₂ = √(X₂⊗X₁^*)

对于四元数平方根，需要自行解决。有很多方法可供选择，最佳方法将取决于您的应用程序，考虑速度和稳定性。

--祝好，
Fred Klingener