在3D中合并多个旋转矩阵

Question

在3D中合并多个旋转矩阵

matrix3drotationtransformation

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我已经为每个轴计算了轴角旋转。如果仅应用三个旋转中的一个，对象将按预期旋转。

如果我像通常那样将旋转矩阵相乘，即组合旋转时，我得不到所需的结果，因为第一个旋转影响其他旋转，因此最终结果不是我想要的。

我想对对象应用每个旋转，就好像以前没有旋转过一样。

我想这是一个简单的任务，但似乎我没有搜索到正确的关键字。（标题也不完美...（欢迎建议））

感谢您提供的每个提示/帮助。

- user2479595

4个回答

2

我在搜索不同的问题时偶然发现了这个问题。长话短说，你很可能是以相反的顺序乘以矩阵。

链接旋转有点令人费解。如果你有一个旋转链 R1*R2*R3*R4，那么你有两种概念化的方式：内禀和外在。

内禀视图从右到左工作。你从 R4 开始，一直到 R1。R4 采用初始框架并产生一个围绕 R4 的旋转轴旋转的新框架。R4 的轴在初始框架中指定。R3 取此旋转后的框架并将其围绕 R3 的旋转轴旋转。在这里，R3 的轴在 R4 的旋转框架中指定。这继续下去，每次更改表达旋转轴的框架。

外在视图从左到右工作。你从 R1 开始，一直到 R4。R1 的输出框架围绕 R1 的轴旋转。R1 的轴在初始框架中表示。然后 R2 取 R1 的输出框架和 R2 的输出框架，并将它们都围绕 R2 的轴旋转。R2 的轴再次在初始框架中表示。这继续上升链，每次围绕初始框架中表达的某个轴旋转所有先前的框架。

已经感到困惑了吗？更好的是，这两种方式完全等效。它们只是看待同一件事情的两种方式。就像我说的，链接旋转有点令人费解。

它的底线是，如果你有一堆在初始参考框架中表示的旋转矩阵，则外部视图最有意义。如果你想首先围绕 R1 然后围绕 R2 等旋转，则最左边的矩阵是你想要最后旋转的矩阵，即你将计算 Rn*Rn-1*...*R3*R2*R1。

- FirefoxMetzger

我不明白这如何解决原问题。如果我有在初始参考框架中表示的旋转，并将旋转一个接一个地堆叠，那么这并不起作用，因为第二个旋转不会应用于初始状态（仅适用于第一个旋转）。 - Ladislav Ondris

对于每个“外禀”欧拉旋转，您可以通过简单地颠倒顺序找到一个等效的“内在”欧拉旋转。对于序列 R1、R2、R3，乘积 R1*R2*R3 是“内在”的，R2 将围绕 R1 的框架旋转。 R3*R2*R1 是“外在”的（对于该顺序），并且围绕初始框架旋转 R2；同时，对于顺序 R3、R2、R1，R3*R2*R1 也是“内在”的，它将 R2 围绕 R3 的框架旋转，这只是表达相同数量的不同等效方式。 - FirefoxMetzger

0

不要单独应用旋转，您可以从三个初始基向量创建一个变换到三个目标基向量。

例如：

    // Transform the base vectors.
    transform := BaseVecTrans(
        [3]mgl32.Vec3{
            {1, 0, 0},
            {0, 1, 0},
            {0, 0, 1}},
        [3]mgl32.Vec3{
            {longitudinal.X, longitudinal.Y, longitudinal.Z},
            {upward.X, upward.Y, upward.Z},
            {normal.X, normal.Y, normal.Z},
        },
    )

transform变量返回一个4x4的变换矩阵。

Go语言中的实现代码如下：

func BaseVecTrans(initVecs, destVecs [3]mgl32.Vec3) mgl32.Mat4 {
    // Create a 3x3 matrix from the initial vectors and its inverse.
    A := mgl32.Mat3FromCols(initVecs[0], initVecs[1], initVecs[2])
    AInv := A.Inv()

    // Create a 3x3 matrix from the destination vectors.
    B := mgl32.Mat3FromCols(destVecs[0], destVecs[1], destVecs[2])

    // Compute the rotation matrix that transforms A to B.
    R := B.Mul3(AInv)

    // Create a 4x4 transformation matrix from the rotation matrix and a translation vector.
    transform := mgl32.Ident4()
    transform.SetRow(0, mgl32.Vec4{R.At(0, 0), R.At(0, 1), R.At(0, 2), 0})
    transform.SetRow(1, mgl32.Vec4{R.At(1, 0), R.At(1, 1), R.At(1, 2), 0})
    transform.SetRow(2, mgl32.Vec4{R.At(2, 0), R.At(2, 1), R.At(2, 2), 0})
    transform.SetRow(3, mgl32.Vec4{0, 0, 0, 1})

    return transform
}

- user3405291

-2

旋转矩阵的组成并不是一件简单的事情。我建议将您的旋转矩阵表示为四元数。四元数具有非常有用的属性。将两个四元数相乘将给出第三个四元数，将其放回矩阵形式中，即为两个输入矩阵的确切组合。我认为Boost库有相关代码，但我个人没有使用过。

编辑：您可以从（归一化的）轴向量和旋转角度获得旋转矩阵。请参阅维基百科上的文章。

- AlexG

我正在使用的库提供四元数。所以那部分已经完成了；）。所以我必须在三个向量上使用叉积来获得我要查找的四元数表示？我认为这与乘法旋转矩阵是相同的，不是吗？ - user2479595

@user2479595，您应该能够为每个轴初始化旋转。通常，一个轴向量和一个旋转角度就足以得到一个旋转矩阵。一旦您有了三个矩阵，您可以将它们表示为四元数，将它们相乘，然后将结果表达为另一个旋转矩阵。您也可以看看Tommy的答案。 - AlexG

四元数的乘法相当于一个接一个地应用旋转矩阵，这不是所要求的。 - Ladislav Ondris

@LadislavOndris 重新阅读5年前我最初回答后面的第二和第三段，我仍然相信这正是所问之处。如果您可以读心，请随便分享您的想法。 - AlexG

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可以查看英文原文，
原文链接

- Tommy · Accepted Answer

您正在经历陀螺仪锁定。这不是一个数学问题，而是一种逻辑谬误。为了描述方便，请尝试使用您的手机：

将其面朝上放在桌子上，充电连接器在底部。
顺时针绕z轴旋转90度。因此，充电连接器现在在左侧。
绕x轴旋转180度（假设充电口在顶部或底部，则x轴为手机的长轴）。
手机现在颠倒过来，充电口在左侧。

但是：

将其面朝上放在桌子上，充电连接器在底部。
绕x轴旋转180度。因此，充电连接器现在在顶部。
顺时针绕z轴旋转90度。
手机现在颠倒过来，充电口在右侧。

如果指令是绕x轴旋转180度并顺时针绕z轴旋转90度，则哪一个是错误的？两者都不是错误的。指令是有歧义的。

个别旋转的顺序总是很重要的，因为第二个会影响第一个所做的工作，第三个会影响第一和第二个所做的工作，以此类推。改变顺序只会改变谁影响谁。

定向通常直接存储为矩阵或四元数，因为它是明确的，并且可以正确有序地保留动作的顺序。