需要OpenGL 3D变换的旋转矩阵。

Question

问题是我有两个在三维空间中的点，其中y+向上，x+向右，z+朝向你。我想将一个长度等于两点之间距离的圆柱体定位在它们之间，使其两个中心端点接触这两个点。我已经将圆柱体平移到了两个点的中心位置，并需要帮助设计一个旋转矩阵来应用于圆柱体，以便它朝向正确的方向。整个事物的变换矩阵如下：

translate(中心点) * rotateX(一些X度数) * rotateZ(一些Z度数)

平移是最后应用的，这样我就可以在平移之前将其定位到正确的方向。

以下是我目前为止的进展：

mat4 getTransformation(vec3 point, vec3 parent)
{
    float deltaX = point.x - parent.x;
    float deltaY = point.y - parent.y;
    float deltaZ = point.z - parent.z;

    float yRotation = atan2f(deltaZ, deltaX) * (180.0 / M_PI);
    float xRotation = atan2f(deltaZ, deltaY) * (180.0 / M_PI);
    float zRotation = atan2f(deltaX, deltaY) * (-180.0 / M_PI);
    if(point.y < parent.y)
    {
        zRotation = atan2f(deltaX, deltaY) * (180.0 / M_PI);
    }

    vec3 center = vec3((point.x + parent.x)/2.0, (point.y + parent.y)/2.0, (point.z + parent.z)/2.0);
    mat4 translation = Translate(center);
    return translation * RotateX(xRotation) * RotateZ(zRotation) * Scale(radius, 1, radius) * Scale(0.1, 0.1, 0.1);
}

我尝试了下面给出的解决方案，但似乎根本没有起作用

mat4 getTransformation(vec3 parent, vec3 point)
{
    // moves base of cylinder to origin and gives it unit scaling
    mat4 scaleFactor = Translate(0, 0.5, 0) * Scale(radius/2.0, 1/2.0, radius/2.0) * cylinderModel;

    float length = sqrtf(pow((point.x - parent.x), 2) + pow((point.y - parent.y), 2) + pow((point.z - parent.z), 2));
    vec3 direction = normalize(point - parent);
    float pitch = acos(direction.y);
    float yaw = atan2(direction.z, direction.x);

    return Translate(parent) * Scale(length, length, length) * RotateX(pitch) * RotateY(yaw) * scaleFactor;
}

运行上述代码后得到以下结果：

每个黑点都是一个点，其父节点就是产生它的那个点（前一个点）。我想让树枝与这些点匹配。基本上，我正在尝试实现用于随机生成树的空间殖民算法。我已经大部分完成了，但我希望将树枝映射到它上面，使其看起来更好。我可以使用GL_LINES来进行通用连接，但如果我把它搞定了，它会显得更漂亮。该算法在此处有详细解释。

以下是我想做的事情的图像（请原谅我的绘画技巧）。

- boddie

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请注意，缺少一个自由度：圆柱绕其自身轴线的滚动。看到您的抽象公式，我猜想您并不关心这将是哪个角度。（这很好，我只是想告诉您，在两点之间定位圆柱还有其他可能性。） - leemes

你能给我一些其他可能性的提示吗？自从早上11点开始，我一直在努力正确地定位它，哈哈。 - boddie

我只是想说，你最初的目标描述在数学意义上留下了无限多的解决方案（而不是如何编程）。你现有的想法可能是最简单的解决方案，因为它没有这种自由度。 - leemes

你知道如何使用 acos2 吗？ - Beta

你尝试过先解决一个更简单的问题吗？比如二维问题？ - Beta

Answer 1

嗯，有任意数量的旋转矩阵符合您的约束条件。但是任何一个都可以。我们不需要尝试找出特定的旋转，而是直接写下矩阵。假设您的圆柱在没有应用变换时，其轴沿着Z轴。因此，您必须将局部空间Z轴向这两个点之间的方向进行变换。即 z_t = normalize(p_1 - p_2)，其中normalize(a) = a / length(a)。

现在我们只需要将其变为完整的三维坐标基。我们从一个不与z_t平行的任意向量开始。比如说(1,0,0)或者(0,1,0)或者(0,0,1)中的一个；使用标量积·(也称为内积或点积)和z_t，并使用绝对值最小的向量，我们称之为u向量。 伪代码如下：

# Start with (1,0,0)
mindotabs = abs( z_t · (1,0,0) )
minvec = (1,0,0)
for u_ in (0,1,0), (0,0,1):
    dotabs = z_t · u_
    if dotabs < mindotabs:
        mindotabs = dotabs
        minvec = u_

u = minvec_

然后，您需要对该向量进行正交化，得到一个本地y变换 y_t = normalize(u - z_t · u)。

最后通过叉积得到x变换 x_t = z_t × y_t。

为了将圆柱移动到正确位置，您需要将其与匹配的平移矩阵相结合。

变换矩阵实际上只是您“来自”空间的轴写成从另一个空间看到的形式。因此，所得到的矩阵，即您要查找的旋转矩阵，仅是将x_t、y_t和z_t向量并排作为矩阵。OpenGL使用所谓的齐次矩阵，因此您需要使用0,0,0,1作为底部行和右侧列来填充它以形成4×4的形式。

然后，您可以将其加载到OpenGL中；如果使用固定功能，则使用glMultMatrix应用旋转，如果使用着色器，则将其乘以最终传递给glUniform的矩阵。

- datenwolf

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我有点困惑第二段中的“u”是什么意思。我也不明白你所说的“绝对值最小的向量”。这里我们指的是哪些向量？ - boddie

Answer 2

从一个单位长度的圆柱体开始，其中一个端点（我称之为C1）位于原点（请注意，您的图像表明您的圆柱体的中心在原点，但您可以轻松地将其转换为我开始的内容）。另一个端点（我称之为C2）位于(0,1,0)。

我想称呼你在世界坐标系中的两个点为P1和P2，我们想要将C1定位到P1，将C2定位到P2。

首先通过P1平移圆柱体，这样就成功地将C1定位到P1。

然后按照distance(P1, P2)缩放圆柱体，因为它最初的长度为1。

剩余的旋转可以使用球面坐标计算。如果您不熟悉这种类型的坐标系：它就像GPS坐标：两个角度；一个围绕极轴（在您的情况下是世界的Y轴）的角度，我们通常称之为偏航角，另一个是俯仰角（在您的情况下是模型空间中的X轴）。这两个角度可以通过将P2-P1（即P2相对于P1的本地偏移量）转换为球面坐标来计算。首先围绕X轴旋转俯仰角，然后围绕Y轴旋转偏航角。

类似以下伪代码可以实现它：

Matrix getTransformation(Point P1, Point P2) {
    float length = distance(P1, P2);
    Point direction = normalize(P2 - P1);
    float pitch = acos(direction.y);
    float yaw = atan2(direction.z, direction.x);

    return translate(P1) * scaleY(length) * rotateX(pitch) * rotateY(yaw);
}

- leemes

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我尝试了你的解决方案，我的代码如上所示，但似乎没有产生影响。 - boddie

在您更新的代码中，请使用Scale(radius, length, radius)而不是Scale(length, length, length)。你看到了什么？我猜你没有看出什么问题。然后尝试改变顺序。并且尝试一步一步地进行。首先尝试将圆柱体定位在“parent”处，然后按长度缩放它（如果这失败了，可能是因为矩阵顺序错误），等等。很容易弄错顺序！ - leemes

如果有帮助的话，我在上面发布了我正在尝试做的事情的类型。 - boddie

我从这里获取了公式，但假设r=1并使用atan2而不是atan。 - leemes

为什么要使用度数？生成这些矩阵时，您肯定会使用弧度中的 sin 和 cos。我建议在代码库中的任何地方都使用弧度，除了用户输入角度。 - leemes

Answer 3

将圆柱轴称为A。第二次旋转（关于X）不能改变A和X之间的角度，因此我们必须通过Z的第一次旋转来获得正确的角度。

将目标向量（两点之间的向量）称为B。取-acos(B_X/B_Y)，这就是第一次旋转的角度。

再次取B，忽略X部分，并查看其在（Y，Z）平面上的投影。取acos(B_Z/B_Y)，这就是第二次旋转的角度。

- Beta